空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示、空間向量基本定理課件北師大版選修-展示頁
2025-06-21 19:01本頁面
【正文】 在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱長為 1 ， B 1 E 1 ＝14 A 1 B 1 ，則1DE的坐標(biāo)為 ____ ____ ． 解析： 顯然 D 為原點，設(shè) E 1 ( x ， y ， z ) ， 易知 x ＝ 1 ， y ＝34， z ＝ 1 ， ∴1DE＝ (1 ，34， 1) ． 答案： (1 ， 34 ， 1) 2 ．已知點 A 的坐標(biāo)是 ( 1 ,2 ，－ 1) ，且向量 OC 與向量 OA 關(guān) 于坐標(biāo)平面 xO y 對稱，向量與向量 OA 關(guān)于 x 軸對稱， 求向量 OC 和向量的坐標(biāo)． 解： 如圖，過 A 點作 AM ⊥ 平面 xOy 于M ，則直線 AM 過點 C ，且 CM ＝ AM ，則點 C 的坐標(biāo)為 (1,2 ,1) ，此時 OC ＝(1,2,1 ) ，該向量與 OA ＝ (1,2 ，－ 1) 關(guān)于平面 xOy 對稱． 過 A 點作 AN ⊥ x 軸于 N ，則直線 AN 過點 B ，且 BN ＝ AN ，則 B (1 ，－ 2,1) ，此時＝ (1 ，－ 2,1) ，該向量與 OA 關(guān)于 x 軸對稱． 3. 在直三棱柱 A BO － A 1 B 1 O 1 中， ∠ AOB ＝π2， AO ＝ 4 ， BO ＝ 2 ， AA 1 ＝ 4 ， D 為 A 1 B 1 的中 點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求 DO 、1AB的坐標(biāo)． 解： ( 1) ∵ DO ＝－ OD ＝－ (1OO＋1OD) ＝－ [1OO＋12( OA ＋ )] ＝－1OO－12OA －12＝－ 4k － 2 i － j . ∴ DO ＝ ( － 2 ，－ 1 ，－ 4) ． ( 2) ∵1AB＝－1OA＝－ ( OA ＋1AA) ＝－ OA －1AA＝ 2j － 4 i － 4 k . ∴1AB＝ ( － 4,2 ，－ 4) . [ 例 2] 如圖，已知單位正方體 ABCD －A ′ B ′ C ′ D ′ .求： (1) 向量 CA ? 在 CD 上的投影； (2) CD 是單位向量，且垂直于平面A DD ′ A ′ ，求向量 CA ? 在 DC 上的投影． [ 思路點撥 ] a 在 b 上的投影為 | a | c os 〈 a ， b 〉，只要求出 | a| 及〈 a ， b 〉即可． [ 精解詳析 ] ( 1) 法一 ： 向量 CA ? 在 CD 上的投影為| CA ? | c os 〈 CA ? ， CD 〉，又正方體棱長為 1 ， ∴ | CA ′ |＝ 12＋ 12＋ 12＝ 3 ， ∴ | CA ? |＝ 3 ， ∠ D CA ′ 即為 CA ? 與 CD 的夾角，在 Rt △ A ′ CD 中， c os ∠ A ′ CD ＝13＝33， ∴ CA ? CA ? 在 CD 上的投影為 | CA ? | c os 〈 CA ? ， CD 〉＝ 3 － ∠ A ′ CD ， ∴ CA ? 在 DC 上的投影為 | CA ? | c os ( 180176。 i ＝ |a||i | c os
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