八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第十八章平行四邊形182特殊的平行四邊形1822菱形第2課時(shí)菱形的判定新人教版-展示頁
2025-06-21 12:44本頁面
【正文】 相平分且垂直的四邊形是菱形 ” 也可作為判定菱形的一種方法． 歸 類 探 究 類型之一 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 如圖 18 － 2 － 35 ，在 △ ABC 中， AD 是 ∠ BAC 的平分線， DE ∥ AC ，DF ∥ A B ．求證：四邊形 AE DF 是菱形． 圖 18 － 2 － 35 對(duì)于這道題，小明的證明過程如下： 證明： ∵ AD 平分 ∠ BAC ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2( 角平分線的定義 ) ． ∵ DE ∥ AC ， ∴∠ 2 ＝ ∠ 3( 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ) ． ∴∠ 1 ＝ ∠ 3( 等量代換 ) ． ∴ AE ＝ DE ( 等角對(duì)等邊 ) ． 同理可證， AF ＝ DF ， ∴ 四邊形 AEDF 是菱形 ( 菱形的定義 ) ． 老師說小明的證明過程有錯(cuò)誤． (1) 請你幫小明指出他的錯(cuò)誤； (2) 請你幫小明做出正確 的解答． 解： (1) 小明錯(cuò)用了菱形的定義，兩組鄰邊分別對(duì)應(yīng)相等不能判定四邊形是菱形． (2) 改正： ∵ DE ∥ AC ， DF ∥ AB ， ∴ 四邊形 AEDF 是平行四邊形． ∵ AD 平分 ∠ BAC ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2( 角平分線的定義 ) ． ∵ DE ∥ AC ， ∴∠ 2 ＝ ∠ 3( 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ) ． ∴∠ 1 ＝ ∠ 3( 等量代換 ) ． ∴ AE ＝ DE . ∴ 四邊形 AEDF 是菱形． 【點(diǎn)悟】 菱形的定義 “ 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 ” 是菱形其他判定方法的基礎(chǔ)，可作為菱形的判定方法． 類型之二 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 如圖 18 － 2 － 36 ， ? AB C D 的兩條對(duì)角線 AC ， BD 相交于點(diǎn) O ， AB ＝ 5 ，AC ＝ 4 ， BD ＝ 2. 求證：四邊形 ABCD 是菱形． 圖 18 － 2 － 36 證明： ∵ 四邊形 AB C D 是平行四邊形， ∴ AO ＝12AC ＝ 2 ， BO ＝12BD ＝ 1. 在 △ AOB 中， AB2＝ 5 ， AO2＋ BO2＝ 22＋ 12＝ 5 ， ∴ AB2＝ AO2＋ BO2， 【點(diǎn)悟】 先證明四邊形是平行四邊形，再證明對(duì)角線互相垂直． ∴△ AOB
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