利用空間向量解立體幾何問題-展示頁
2025-06-16 16:39本頁面
【正文】 ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ.因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（２）設(shè)平面ＡＢＭ與ＰＣ交于點Ｎ，因為ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，則ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，則|DM|就是D點到平面ABM距離.因為在Rt△PAD中，所以為中點，則O點到平面ABM的距離等于。（2） 利用空間向量解題的方法有2類：（i） 利用空間向量基本定理，結(jié)合向量的數(shù)量積運算；（ii） 建立空間坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算；（3）利用空間向量解題常用到下列2個概念（i）直線的方向向量：把直線l上的向量e以及與e平行的向量叫直線的方向向量，有2種方向，有無數(shù)個，（II）平面的法向量：垂直于平面的方向向量，按方向分有2類，有無數(shù)個；如何求平面的法向量？設(shè)法向量為，為方便計算，可令其中一個坐標(biāo)為1；在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量及其坐標(biāo)；根據(jù)法向量與平面內(nèi)兩個不共線的向量數(shù)量積為零，列出方程組；解方程組得出法向量的坐標(biāo)分類線面關(guān)系線面角二面角異面直線成角線面關(guān)系 目錄設(shè)空間兩條直線的方向向量分別為，兩個平面的法向量分別為，則由如下結(jié)論平 行垂 直與與與例4 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在對角線上，且,求證：平面證明：建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)AB,AD,AF長分別為3a,3b,3cABCDEFxyzMN又平面CDE的一個法向量由得到因為MN不在平面CDE內(nèi)所以NM//平面CDE例1：如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點. （1） 求證：EF平面PAB；（Ⅱ）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小. ABCDEFxyzP（1）證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=PD=1，AB=（），則E(a,0,0), C(2a,0,0)
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