利用導數(shù)求函數(shù)的極值-展示頁
2025-05-25 02:04本頁面
【正文】 ．求直線方程例 求過曲線上點且與過這點的切線垂直的直線方程．分析：要求與切線垂直的直線方程，關(guān)鍵是確定切線的斜率，從已知條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先通過求導確定曲線在點P處切線的斜率，再根據(jù)點斜式求出與切線垂直的直線方程．解：，∴曲線在點處的切線斜率是∴過點P且與切線垂直的直線的斜率為，∴所求的直線方程為，即．說明：已知曲線上某點的切線這一條件具有雙重含義．在確定與切線垂直的直線方程時，應(yīng)注意考察函數(shù)在切點處的導數(shù)是否為零，當時，切線平行于x軸，過切點P垂直于切線的直線斜率不存在．求曲線方程的交點處切線的夾角例 設(shè)曲線和曲線在它們的交點處的兩切線的夾角為，求的值．分析：要求兩切線的夾角，關(guān)鍵是確定在兩曲線交點處的切線的斜率．根據(jù)導數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點處的導數(shù)，再應(yīng)用兩直線夾角公式求出夾角即可．解：聯(lián)立兩曲線方程解得兩曲線交點為（1，1）．設(shè)兩曲線在交點處的切線斜率分別為，則由兩直線夾角公式說明：探求正確結(jié)論的過程需要靈巧的構(gòu)思和嚴謹?shù)耐评磉\算．兩曲線交點是一個關(guān)鍵條件，函數(shù)在交點處是否要導也是一個不能忽視的問題，而準確理解題設(shè)要求則是正確作出結(jié)論的前提．求常函數(shù)的導數(shù)例 設(shè)，則等于（ ） A． B． C．0 D．以上都不是分析：本題是對函數(shù)的求導問題，直接利用公式即可解：因為是常數(shù)，常數(shù)的導數(shù)為零，所以選C．根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在例 已知函數(shù)，是否存在實數(shù)a、b、c，使同時滿足下列三個條件：（1）定義域為R的奇函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由．分析：本題是解決存在性的問題，首先假設(shè)三個參數(shù)a、b、c存在，然后用三個已給條件逐一確定a、b、c的值．解：是奇函數(shù)又，即，∴．∴或，但時，不合題意；故．這時在上是增函數(shù)，且最大值是1．設(shè)在上是增函數(shù)，且最大值是3．，當時，故；又當時，；當時，；故，又當時，當時，．所以在是增函數(shù)，在（－1，1）上是減函數(shù)．又時，時最大值為3．∴經(jīng)驗證：時，符合題設(shè)條件，所以存在滿足條件的a、b、c，即說明：此題是綜合性較強的存在性問題，對于拓寬思路，開闊視野很有指導意義．此題若用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無技可施．若用求導數(shù)的方法解決就迎刃而解．因此用導數(shù)法解決有關(guān)單調(diào)性和最值問題是很重要的數(shù)學方法．切不可忘記．供水站建在何處使水管費最少例 有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？分析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點C的位置．解：解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點x km，則又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有．令，解得在（0，50）上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在（km）處取得最小值，此時（km）．∴供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最?。夥ǘ涸O(shè)，則∴．設(shè)總的水管費用為，依題意，有∴ 令，得．根據(jù)問題的實際意義，當時，函數(shù)取得最小值，此時（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最?。f明：解決實際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)．把“問題情景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解．對于這類問題，學生往往忽視了數(shù)學語言和普通語言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙．運算不過關(guān)，得不到正確的答案，對數(shù)學思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在此正需要我們依據(jù)問題本身提供的信息，利用所謂的動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進行一番選擇．利用導數(shù)求函數(shù)的最值 例 求下列函數(shù)的最值： 1．； 2．； 3． 4．．分析：函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時，只需求出函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值，然后與端點處函數(shù)值進行比較即可．解：1．，令，得，∴．又∴2．，令，得，∴，又．∴3．．令，即，解得當時，當時，．∴函數(shù)在點處取得極小值，也是最小值為即．4．函數(shù)定義域為，當時，令，解得，∴，又，∴說明：對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導，求上最值可簡化過程，即直接將極值點與端點的函數(shù)值比較，即可判定最大（或最?。┑暮瘮?shù)值，就是最大（或最小）值．解決這類問題，運算欠準確是普遍存在的一個突出問題，反映出運算能力上的差距．運算的準確要依靠運算方法的合理與簡捷，需要有效的檢驗手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅實的基礎(chǔ)上形成運算能力，解決運算不準確的弊病．求兩變量乘積的最大值例 已知為正實數(shù)，且滿足關(guān)系式，求的最大值．分析：題中有兩個變量x和y，首先應(yīng)選擇一個主要變量，將表示為某一變量（x或y或其它變量）的函數(shù)關(guān)系，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，
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