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函數(shù)的凸性與拐點-展示頁

2025-05-25 01:55本頁面
  

【正文】 它們不同的特點是:曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的下方;而曲線則相反,任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方.我們把具有前一種特性的曲線稱為凸的,相應(yīng)的函數(shù)稱為凸函數(shù);后一種曲線稱為凹的,相應(yīng)的函數(shù)稱為凹函數(shù).一、函數(shù)的凸性 1.定義設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù),若對上的任意兩點和任意實數(shù)總有 ,則稱為上的凸函數(shù).反之,如果總有 則稱為的凹函數(shù). 如果不等式改為嚴格不等式,則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴格凸函數(shù)和嚴格凹函數(shù). 易證:若為區(qū)間上的凸函數(shù),則為區(qū)間上的凹函數(shù).故只需討論凸性即可. 2.引理 為上的凸函數(shù)的充要條件是:對于上的任意三點總有 。 [充分性] 在上任取兩點,(,在[]上任取一點,由必要性的推導(dǎo)逆過程,可證得故為I上的凸函數(shù) 同理可證,為I 上的凸函數(shù)的充要條件是:對于I
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