函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)-文庫(kù)吧
2025-05-01 01:55 本頁(yè)面
【正文】 總有 。證 [必要性] 記由 的凸性知道 從而有 ，整理后即得(3)式 [充分性] 在上任取兩點(diǎn)，（，在[]上任取一點(diǎn)，由必要性的推導(dǎo)逆過(guò)程，可證得故為I上的凸函數(shù) 同理可證，為I 上的凸函數(shù)的充要條件是：對(duì)于I 上任意三點(diǎn)，有 3．可導(dǎo)函數(shù)凸性的等價(jià)命題 設(shè)為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，則下述論斷互相等價(jià)： 為I上凸函數(shù)； 為I上的增函數(shù)； 對(duì)I上的任意兩點(diǎn)，有． (5) 證 () 任取I上兩點(diǎn) ()及充分小的正數(shù)．由于，根據(jù)的凸性及引理有 由是可導(dǎo)函數(shù)，令時(shí)可得 ，所以為I上的遞增函數(shù)． () 在以為端點(diǎn)的區(qū)間上，由拉格朗日中值定理和遞增，有 ．移項(xiàng)后即得(5)式成立，且當(dāng)時(shí)仍可得到相同結(jié)論．
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