平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜-頻域特征-展示頁(yè)
2025-05-21 18:33本頁(yè)面
【正文】 deRT jXTTT ???? ? ?? )()21(lim 2 2???? ?? ?? ?? deR jX )( ??? ?? deRT jXTTT ???? ?? )(2lim 2 2)(?? XR (注意 絕對(duì)可積，第二項(xiàng)為 0) ???? ?? ?? ?? deR jX )(2022/5/27 18 推論：對(duì)于一般的隨機(jī)信號(hào) X(t)，有： ? ??? ????? ??? ?? dettRAS jXX ),()(? ??????? ???? ?? deSttRA jXX )(2 1),(平均功率為： ??? dSdttXET XT TT ?? ? ????? ? )(2 1)]([2 1l i m 2 利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納 — 辛欽定理表示成： ? ???? ????? dRS XX c o s)(2)(? ???? ?????? dSR XX co s)(1)(2022/5/27 19 3． 單邊功率譜 由于實(shí)平穩(wěn)過(guò)程 x(t)的自相關(guān)函數(shù) 是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。 )(?XS)(?XS?對(duì) 在 X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到 X(t)的功率。 注意： 2022/5/27 10 兩個(gè)結(jié)論： ??? )]([ 2 tXEAQ1 ???????.2 1l i m. TAT表示時(shí)間平均 若平穩(wěn) )0()]([)]([ 22 XRtXEtXEAQ ＝????? ???? ??? dSQ X )(2 12 2022/5/27 11 例 1：設(shè)隨機(jī)信號(hào) ，其中 皆是實(shí)常數(shù)， 是服從 上均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)信號(hào) 的平均功率。第 2章 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的譜分析 2022/5/27 2 本章要解決的問(wèn)題 ?隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法 ? ?傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號(hào)？ ?相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系 ?功率譜的應(yīng)用 ?采樣定理 ?白噪聲的定義 2022/5/27 3 隨機(jī)信號(hào)的譜分析 一、預(yù)備知識(shí) 1. 付氏變換 設(shè) x(t)是時(shí)間 t的非周期實(shí)函數(shù)，且 x(t) 滿足 ? 在 范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件 )(tx ),( ????? 絕對(duì)可積，即 )(tx??????? dttx )(? 信號(hào)的總能量有限，即 )(tx ??????? dttx2)(有限個(gè)極值 有限個(gè)斷點(diǎn) 斷點(diǎn)為有限值 2022/5/27 4 則 的傅里葉變換為： )(txdtetxX tjX ? ??? ?? ?? )()( 其反變換為： ??? ? deXtx tjX? ???? )(2 1)(稱 為 的頻譜密度，也簡(jiǎn)稱為頻譜。 )(tx)(?XX包含：振幅譜 相位譜 2022/5/27 5 常見(jiàn)的傅立葉變換 ??t? 1? 1 ? ????2?tcos 0? ? ? ? ?? ?00 ??????? ????tsin 0? ? ? ? ?? ?00 ??????? ???? j0, ?? te t??? j??1te ??222?????tje 0?? ? ?02 ???? ??2022/5/27 6 2. 帕塞瓦等式 dtdeXtxdttx tjX ??? ???? ????????? ? )(2 1)()]([ 2??? ? d tdetxX tjX? ???? ???? )()(2 1???? dXX XX )()(2 1 *? ??????? dX X????? 2)(21??? dXdttx X?? ?????? ? 22 )(2 1)]([即 能量譜密度 2022/5/27 7 二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 應(yīng)用截取函數(shù) ????????TtTttxtxT 0)()(2022/5/27 8 當(dāng) x(t)為有限值時(shí)， 的傅里葉變換存在 )(txT? ??? ?? dtetxTX tjTX ?? )(),(?? ?? TT tj dtetx ?)(應(yīng)用帕塞瓦等式 ??? dTXdttx XT T ?? ???? ? 22 ),(2 1)(??? dTXTdttxT XT T ?? ???? ? 22 ),(4 1)(2 1????????????? ?????? ??? dTXTEdttxTE XTT22 ),(41)(21除以 2T 取集合平均 2022/5/27 9 令 ，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序 ??T??? dTTXEdttXET XTTTT 2]),([l i m21)]([21l i m 22 ?? ??? ????? ?功率 Q )(?XS非負(fù) 存在 ??? dSdttXETQ XT TT ?? ? ????? ?? )(2 1)]([2 1l i m 2（ 1） Q為確定性值，不是隨機(jī)變量 )(?XS（ 2） 為確定性實(shí)函數(shù)。 )co s ()( 0 ??? tatX ? 0?和a? ），（20?)(tX)](c o s[)]([ 0222 ??? taEtXE ?) ] }22c o s(1[2{ 02???? taE ??????dtaa )22c o s(222 02022??? ?20022 )22si n (22???? ??? taa解： taa 0222si n2 ????不是寬平穩(wěn)的 )(tX?2022/5/27 12 ??? )]([ 2 tXEAQ2)2si n2(212022l i madttaaTTTT??? ??????2022/5/27 13 ?功率譜密度： 描述了隨機(jī)信號(hào) X(t)的 功率在各個(gè)不同頻率上的分布 ——
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