【正文】 在可行域的頂端點上了，而在切割印染約束條件線上， ? 7/10S+D=630 ? 但是也不是在切割印染約束條件和成型約束條件的交叉部分形成的端點上，或在有切割印染約束條件和檢測包裝約束條件的交叉部分形成的端點上。在松弛或剩余列，第二行的 0值意味著最優(yōu)解使用了切割印染部門的全部勞動力時間； ? 但在第三行代第五行的非零值表明了其他部門可用的松弛時間。變量部分顯示最優(yōu)解是生產(chǎn) 6個標(biāo)準(zhǔn)包和 4個豪華包。這個局部最優(yōu)也是一個整體最優(yōu)（見下以節(jié)）。這個受約束非線性最大化問題的 LINGO解如圖 8—2所示。 ? 圖 8— 1 Par公司的可行域和無約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)解 ? 很明顯， Par公司必須解決的最大問題是最大化總利潤 ? 80S1/15S2+150D1/5D2 ? 但是要基于第二章所給出的所有部門勞力小時約束條件的限制。 Par公司原來問題的可行域以及無約束最優(yōu)解點（ 600， 375）如圖 8— 1所示。 ? 一個受約束問題 ? ? Par公司不能得到無約束問題最優(yōu)解得出的利潤，因為其違反和限制了可行域的約束條件。以及利潤是 52125美元。 ? 用 LINGO（見附錄 8A），我們發(fā)現(xiàn)最大化利潤函數(shù)的 S和 D的值是 S=600和 D=375。因此，總利潤可寫為 ? 總利潤 =80SS/15+150DD/5 ? 注意兩個線性需求函數(shù)，式（ 81）和式（ 82），給出了一個非線性總利潤函數(shù)式（ 85）。用 150S/15代替（ 83）式中的 Ps，標(biāo)準(zhǔn)包的利潤是 ? PsS70S=(150S/15)S70S=80SS/15 (84) ? 假定生產(chǎn)每種豪華高爾夫包的成本是 150美元。因此生產(chǎn)和銷售 S個標(biāo)準(zhǔn)包的利潤（收益 成本）是 ? PsS70S (83 ? 我們求解（ 81）式中的 Ps,可以得到標(biāo)準(zhǔn)包的價格是如何用售出的標(biāo)準(zhǔn)包數(shù)目來表示的。假定標(biāo)準(zhǔn)包 S的需求和豪華包 D的需求由如下式給出： ? S=225015Ps (81) ? D=15005PD (82) ? 標(biāo)準(zhǔn)包產(chǎn)生的收益是每個標(biāo)準(zhǔn)包價格 Ps乘以售出的標(biāo)準(zhǔn)包數(shù)目 S。隨著價格升高，需求數(shù)量卻下降。但是，依賴于高爾夫包的價格，這個假設(shè)可能不成立。記得 Par公司決定制造標(biāo)準(zhǔn)的和豪華的高爾夫包。在這一部分的最后，我們還討論了局部和整體的最優(yōu)化。接著求解得到無約束非線性規(guī)劃，并且我們觀察到無約束最優(yōu)解不能滿足生產(chǎn)約束條件。 ? 資料來源：基于 Richard Hicks et al.,”Bombardier Flexjet Significantly Improves Its Fractional Aircraft Ownership Operations Interfaces 35,no.(January/February 2022):4960 ? 一個生產(chǎn)應(yīng)用 —— 對 Par公司的再思考 ? 通過考慮第 2章介紹的 Par公司線性規(guī)劃的擴(kuò)展，我們來介紹受約束和無約束的非線性最優(yōu)化問題。節(jié)約成本的大部分來自于減少 20%的人員和 40%的飛機(jī)庫存。 ? 最優(yōu)化模型獲得了很大成功。非線性的中心是一個二維變量和一個連續(xù)變量的乘積，如果一段航程被使用，這個二維變量即為 1，這個連續(xù)變量用于給飛行時間加上時間窗。通過子問題確定的解是部分最優(yōu)解優(yōu)質(zhì)的候選者。常常使用分解法來求解。 ? 最后的模型很大，不能用商用最優(yōu)化軟件模型來直接求解。模型包含了基于聯(lián)邦飛行管理局（ FAA）規(guī)章、公司制度以及飛機(jī)性能特征的“硬性”約束條件，也包含了關(guān)于成本權(quán)衡的“軟性”約束條件。一個利用最優(yōu)化原理的排程系統(tǒng)變得非常必要了。事實上，不適當(dāng)?shù)氖止ぐ才胖率?Flexjet供養(yǎng)著多余的商務(wù)噴氣飛機(jī)和空勤人員。最初， Flexjet試圖用人工來安排飛行。為所收取的管理費(fèi)， Flexjet會為購買使用權(quán)的公司提供飛機(jī)棚設(shè)備、維修以及空勤人員。擁有部分所有權(quán)的公司被保證能在 24小時以內(nèi)低至 4小時的提前使用飛機(jī)。 ? 專欄 81 實踐中的管理科學(xué) ? 為 Bombardier Flexjet 安排航程和全體人員 ? Bombardier Flexjet 是一家發(fā)展迅速的支線飛機(jī)行業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)性公司。然而，Excel規(guī)劃求解也能用來求解這些問題。作為對非線性最優(yōu)化應(yīng)用在實踐中更進(jìn)一步的說明，實踐中的管理科學(xué) 《 為 Bombardier Flexjet安排航程和全體人員 》 ，討論了 Flexjet如何應(yīng)用非線性最優(yōu)化來分配飛機(jī)和人員。第 4章中介紹的線性規(guī)劃混合模型的一個非線性應(yīng)用。在第 8..2節(jié)中，我們建立了一個關(guān)于設(shè)計有價證券的投資組合來跟蹤股票市場指數(shù)的非線性應(yīng)用。 ? 非線性最優(yōu)化問題 是在目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一項是非線性的最優(yōu)化問題。生產(chǎn)的邊際成本常常隨著生產(chǎn)數(shù)量的增加而減少，一個產(chǎn)品的需求數(shù)量常常是價格的非線性函數(shù)。第八章 非線性最優(yōu)化模型 許多商業(yè)過程都以非線性方式運(yùn)行。例如，一個債券的價格是利率的非線性函數(shù)，一個優(yōu)先購股權(quán)的價格是優(yōu)先股票價格的非線性函數(shù)。這些和其他的許多非線性關(guān)系出現(xiàn)在各種商業(yè)應(yīng)用中。我們考慮一個目標(biāo)函數(shù)是決策變量的非線性函數(shù)的生產(chǎn)問題，以此來開始這一章非線性應(yīng)用的研究。在第，我們引入了曾獲得諾貝爾獎的 Markowitz模型，其用于管理風(fēng)險和回報間的平衡，并由此擴(kuò)展了投資組合模型的處理。在第 ，我們介紹了一個用于預(yù)測新產(chǎn)品銷售或采納的著名且成功的模型。 ? 在本章中介紹的計算機(jī)解是利用 LINGO得到的。本章后的附錄描述了如何用 LINGO和 Excel規(guī)劃求解來求解非線性規(guī)劃。 Flexjet以每年飛行50小時的限制銷售商務(wù)噴氣飛機(jī)的使用權(quán)。這類使用飛機(jī)的公司每月需支付管理費(fèi)和使用費(fèi)。 ? 由于支線飛機(jī)行業(yè)上的靈活性，安排空勤人員和航程的問題甚至比商務(wù)航空行業(yè)還復(fù)雜。然而，這項任務(wù)很快被證明是不可行的。多余的商務(wù)噴氣飛機(jī)和空勤人員的成本估計為每飛行時數(shù)幾百美元。 ? 為 Flexjet開發(fā)的排程系統(tǒng)包括一個大型的非線性最優(yōu)化模型 ,該模型整合了 Flexjet職工使用的圖形用戶界面（ GUI）。這個模型用來為航程分派飛機(jī)和空勤人員。擁有太多直接求解的變量的模型。分解法采用只包含全部變量的一小部分的主要問題來求解。在 Flexjet模型中，子問題是非線性整數(shù)規(guī)劃。子問題使用稱為動態(tài)規(guī)劃的技術(shù)來優(yōu)化。模型最初為Flexjet節(jié)約了 5400萬美元，而計劃的年節(jié)約為 2700萬美元。飛機(jī)使用率也增加了 10%。我們首先考慮價格和銷售數(shù)量間關(guān)系造成目標(biāo)函數(shù)非線性的情形。把生產(chǎn)約束條件添加到問題中去，我們給出了一個受約束非線性規(guī)劃的形式和解。 ? 一個無約束問題 ? 讓我們考慮修改后的第 2章中的 Par公司問題。在為 Par公司問題構(gòu)建線性規(guī)劃模型時，我們假定它可以銷售它所生產(chǎn)的所有標(biāo)準(zhǔn)包和豪華包。價格和需求間常常存在一個相反的關(guān)系。令 Ps記作 Par公司每種標(biāo)準(zhǔn)包的價格， PD記作每種豪華包的價格。如果生產(chǎn)一個標(biāo)準(zhǔn)包的成本是70美元，生產(chǎn) S個標(biāo)準(zhǔn)包的成本是 70S。它是 Ps=150S/15。用得到式（ 84）相同的邏輯，豪華包的利潤是 ? PDD150D=(300D/5)D150D=150DD/5 ? 總利潤是標(biāo)準(zhǔn)包利潤和豪華包利潤之和。這個函數(shù)是二次函數(shù)的一個例子，因為非線性項有一個 2次冪。對應(yīng)價格是標(biāo)準(zhǔn)包 110美元和豪華包 225美元。如果所有的生產(chǎn)約束條件也都被滿足了，這些值就是 Par公司的最優(yōu)解。例如 ,切割和印染的約束是 ? 7/10S+D≤630 ? 600個標(biāo)準(zhǔn)包和 375個豪華包的生產(chǎn)數(shù)量要求 7/10*600+1*375=795小時，這超出了 630小時的限制 165個小時。這個無約束最優(yōu)解（ 600，375）明顯超出了可行域。 Par公司受約束的非線性最大化問題的完整數(shù)學(xué)模型如下： ? Max 80S1/15S2+150D1/5D2 ? . ? 7/10S+D≤630 切割和印染 ? 1/2S+5/6D≤600 縫合 ? S+2/3D≤708 成型 ? 1/10S+1/4D≤135 檢測與包裝 ? S， D≥0 ? 除了非線性目標(biāo)函數(shù)，這個最大化問題與第二章中的 Par公司問題完全一樣。 ? 圖 8— 2 非線性 Par公司問題的 LINGO解 ? 第一行顯示找到了一個局部最優(yōu)解。目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值是 49 。在行部分，讀一行對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)，第二行到第五行對應(yīng)四個生產(chǎn)約束條件。 ? 6個標(biāo)準(zhǔn)包和 4個豪華包的最優(yōu)解的圖形見圖 8— 3所示。為了理解其中的原因，我們看圖 8— 3。在同一等位向上的每個點都有相同的利潤。在原來的第二章描述的 Par公司問題中，目標(biāo)函數(shù)是線性的，因此利潤等位線是直線。 ? 因為 45 000美元的利潤等位線的一部分切入了可行域，我們知道有無限個標(biāo)準(zhǔn)包豪華包組合能產(chǎn)生 45 000美元的利潤。隨著等位線從無約束最優(yōu)解（ 600， 375）向外移，與每個等位線相關(guān)聯(lián)的利潤也少了。這個解提供了最大的可能利潤。因為等位線是非線性的，有最高利潤的等位線可以在任意點上接觸可行域邊界，而不是只在頂端上。 ? 非線性最優(yōu)化問題的最優(yōu)解也可能位于可行域內(nèi)部。許多線性規(guī)劃算法（如單純型法）指通過檢查端點，并選擇能給出最優(yōu)解的端點來優(yōu)化。因此，非線性規(guī)劃算法比線性規(guī)劃算法更加復(fù)雜，其細(xì)節(jié)超出了本書的范圍。 ? 局部和整體最優(yōu) ? 圖 8— 2中 Par公司非線性問題的 LINGO解的第一行顯示，“找到的局部最優(yōu)解”。例如，在受約束 Par問題中，局部最優(yōu)對應(yīng)局部最大值；如果沒有其他有更大目標(biāo)函數(shù)值的可行解在臨近域找到，這個點就是局部最大值。 ? 非線性最優(yōu)化問題能有多個局部最優(yōu)解，這意味著我們需要找到最好的局部最優(yōu)解。在一個最大化問題的例子中，整體最優(yōu)對應(yīng)整體最大化。對一個最小化問題，如果在可行域內(nèi)沒有其他可行點能有嚴(yán)格更小的目標(biāo)函數(shù)值，這個點就是整體最小值。 ? 有多個局部最優(yōu)解的非線性問題是很難求解的。對這類問題，我們只需要找到一個局部最優(yōu)解。 ? 考慮函數(shù) f（ X， Y） = X2Y2 。一個朝下碗形的函數(shù)稱作凹函數(shù)。點（ 0， 0）是一個局部最大值；但它也是一個整體最大值，因為沒有點能有更大的函數(shù)值了。凹函數(shù)，像 f（ X， Y） = X2