非線性物理ppt課件-展示頁(yè)
2025-01-24 15:54本頁(yè)面
【正文】 dV方程 ， 說(shuō)明孤立波是一種普遍存在的物理現(xiàn)象 。 漫長(zhǎng)的發(fā)展史 033??? x uxuutu ?????? )(2s e c h3)t,( 2 vtxvvxu ???FPU問(wèn)題 又過(guò)了半個(gè)多世紀(jì)， 1955年 ，美國(guó)阿爾莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，著名物理學(xué)家費(fèi)米 ()、帕斯塔 ()和烏萊姆 (Ulam) 設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)：“ 非線性彈簧聯(lián)結(jié)的 64個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成弦的振動(dòng) ”，發(fā)現(xiàn)初始對(duì) 少數(shù)質(zhì)點(diǎn)激發(fā) ， 長(zhǎng)時(shí)間后能量幾乎全部回到了初始集中在少數(shù)質(zhì)點(diǎn)上的狀態(tài) 。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)水波移動(dòng)速度 v、水的深度 d 及水波幅度 A的關(guān)系為 B 為 比例常數(shù) 1. 一個(gè)奇特的水波 KdV方程 半個(gè)多世紀(jì)后 ， 1895 年 ， 兩位荷蘭科學(xué)家科特維格(Kortweg)與德弗雷斯 (de Vries) 認(rèn)為：羅素觀察到的孤立波是波動(dòng)過(guò)程中 非線性效應(yīng)與色散現(xiàn)象互相平衡 的結(jié)果 。 羅素的發(fā)現(xiàn) 1. 一個(gè)奇特的水波 羅素的發(fā)現(xiàn) )(2 AdBv ??實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明水波的運(yùn)動(dòng)速度與波幅高度有關(guān)，波幅越高速度越快，且波幅的寬度對(duì)高度之比也越小。 一個(gè)輪廓清晰又光滑的水堆 ， 猶如一個(gè)大鼓包 ， 沿著運(yùn)河一直向前推進(jìn)在行進(jìn)過(guò)程中其形狀與速度沒(méi)有明顯變化 。 他看到兩匹駿馬拉著一條船沿運(yùn)河迅速前進(jìn) ， 當(dāng)船突然停止時(shí) ， 隨船一起運(yùn)動(dòng)的船頭處的水堆并沒(méi)有停止下來(lái) 。第五章 孤立波 一個(gè)輪廓清晰又光滑的水堆，猶如一個(gè)大鼓包，沿著運(yùn)河一直向前推進(jìn)。 第五章 孤立波 第一節(jié) 歷史回顧 第二節(jié) KdV方程 第三節(jié) 正弦 — 高登方程 第四節(jié) 非線性薛定諤方程與 光學(xué)孤立子 1. 一個(gè)奇特的水波 2. 孤立波與孤立子 第一節(jié) 歷史回顧 1. 一個(gè)奇特的水波 1834年，蘇格蘭海軍工程師羅素 (J. Scott Russell)在一次偶然中觀察到一種奇特的水波。 它激烈地在船頭翻動(dòng)起來(lái) ， 隨即突然離開船頭 ， 并以巨大的速度向前推進(jìn) 。 羅素稱之為 孤立波 Solitary wave。 水槽中的實(shí)驗(yàn) 羅素在一長(zhǎng)水槽的一端 ， 用一重錘垂落入水中 ，反復(fù)的觀察重錘激起的水浪的運(yùn)動(dòng) 。 他們建立了 KdV方程： sech(x)為雙曲正割函數(shù) , 具有鐘形形狀 。 1. 一個(gè)奇特的水波 漫長(zhǎng)的發(fā)展史 1965年 ， 兩位美國(guó)數(shù)學(xué)家 ， 采布斯基 (Zabusky)與克魯思卡爾 (Kruskal)， 用計(jì)算機(jī)計(jì)算發(fā)現(xiàn) ， FPU 問(wèn)題與 KdV 方程的解直接有關(guān) 。 KdV方程成為數(shù)學(xué)物理的一個(gè)基本方程 1. 一個(gè)奇特的水波 孤立波方程 人們?cè)诶碚撋虾蛯?shí)驗(yàn)上對(duì)孤立波巳作了大量的研究。 在數(shù)學(xué)上通常認(rèn)為下列非線性方程的解的性質(zhì)具有孤立波特性。 從美麗的木星上的巨型紅斑到固體中的電荷密度波都屬于這樣的有序結(jié)構(gòu) 。 混沌運(yùn)動(dòng)是非線性中奇妙的無(wú)序狀態(tài) ， 相干結(jié)構(gòu)反映了非線性系統(tǒng)中的驚人有序性 。 木星紅斑 孤立子 計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)在空間傳播的孤立波具有 碰撞 特性，說(shuō)明： (1)孤立波非常的穩(wěn)定； (2)象一個(gè)物質(zhì)粒子。 孤立子是由非線性場(chǎng)所激發(fā)的 、 能量不彌散的 、 形態(tài)上穩(wěn)定的準(zhǔn)粒子 。 孤立子 具有一切粒子所具有的特性 ， 如能量 、 動(dòng)量 、 質(zhì)量 、 電荷 、 自旋等等 ， 也遵循一般的自然規(guī)律 ， 如能量 、 動(dòng)量 、 質(zhì)量守恒定律 。 孤立波在哪里 ？ 孤立波除存在于淺水層外 ， 還可在水層深處 。 它是一種行波 ，既可以速度 v 在空間傳播 ， 又可以處于靜止?fàn)顟B(tài) 。 這是因?yàn)楹?duì)水浪運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生某種阻滯力 ， 浪的較低部分受到阻滯力大 ， 較高部分阻滯力小 。 當(dāng)水浪的不同部分有不同行進(jìn)速度時(shí) ， 會(huì)出現(xiàn)會(huì)聚效應(yīng) ，形成浪花 。 在初始時(shí)刻介質(zhì)中出現(xiàn)的擾動(dòng) n(x,0)= F(x) ， 波動(dòng)將在傳播中保持不變 。 如果波動(dòng)的速度 v 與介質(zhì)的密度 n 有關(guān)，設(shè)： n(x,t)=F [x v(n) t] 當(dāng) 出現(xiàn)波包前沿變陡，形成波包會(huì)聚。 色散波 將在傳播中因彌散而消失 。 于是便可以在波動(dòng)方程與色散關(guān)系之間建立直接的對(duì)應(yīng)。 ikxit ??? ??w?? ,3. KdV 方程 KdV方程的推導(dǎo) 對(duì)于不可壓縮介質(zhì) ， 粒子數(shù)密度 n 應(yīng)用粒子速度 v 來(lái)替代 ， 即有 在重力作用下水波的色散關(guān)系： (g重力加速度 ， h 水深 ) w (k) = g k tank (k h) 級(jí)數(shù)展開近似式 利用 考慮導(dǎo)致波形坍塌的非線性效應(yīng) 得 KdV方程 0??? xvvtv ????ghghh ?? ?? ,61 233xvxvtv???????? ?????0)( 33 ????? x vxvvtv ????????0??? xnvtn ????ikxit ??? ??w?? ,? ? 3kkk ??w ??KdV方程的孤立波解 設(shè)方程 的解為 方程變?yōu)? 整理后 其解是羅素觀察到的水面上 奇特水波 3. KdV 方程 )()( 0 ?utvxuu ???0)( 33 ????? x uxuvtu ????????0220 ???? ?????????????? uuvuuu0)( 33???? ???????? uuu?? ?? 0v???????? ??? )(4s e c h3)( 02
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