非線性物理ppt課件(已修改)
2025-01-27 15:54 本頁(yè)面
【正文】 第五章 孤立波 一個(gè)輪廓清晰又光滑的水堆，猶如一個(gè)大鼓包，沿著運(yùn)河一直向前推進(jìn)。 第五章 孤立波 第一節(jié) 歷史回顧 第二節(jié) KdV方程 第三節(jié) 正弦 — 高登方程 第四節(jié) 非線性薛定諤方程與 光學(xué)孤立子 1. 一個(gè)奇特的水波 2. 孤立波與孤立子 第一節(jié) 歷史回顧 1. 一個(gè)奇特的水波 1834年，蘇格蘭海軍工程師羅素 (J. Scott Russell)在一次偶然中觀察到一種奇特的水波。 他看到兩匹駿馬拉著一條船沿運(yùn)河迅速前進(jìn) ， 當(dāng)船突然停止時(shí) ， 隨船一起運(yùn)動(dòng)的船頭處的水堆并沒(méi)有停止下來(lái) 。 它激烈地在船頭翻動(dòng)起來(lái) ， 隨即突然離開船頭 ， 并以巨大的速度向前推進(jìn) 。 一個(gè)輪廓清晰又光滑的水堆 ， 猶如一個(gè)大鼓包 ， 沿著運(yùn)河一直向前推進(jìn)在行進(jìn)過(guò)程中其形狀與速度沒(méi)有明顯變化 。 羅素稱之為 孤立波 Solitary wave。 羅素的發(fā)現(xiàn) 1. 一個(gè)奇特的水波 羅素的發(fā)現(xiàn) )(2 AdBv ??實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明水波的運(yùn)動(dòng)速度與波幅高度有關(guān)，波幅越高速度越快，且波幅的寬度對(duì)高度之比也越小。 水槽中的實(shí)驗(yàn) 羅素在一長(zhǎng)水槽的一端 ， 用一重錘垂落入水中 ，反復(fù)的觀察重錘激起的水浪的運(yùn)動(dòng) 。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)水波移動(dòng)速度 v、水的深度 d 及水波幅度 A的關(guān)系為 B 為 比例常數(shù) 1. 一個(gè)奇特的水波 KdV方程 半個(gè)多世紀(jì)后 ， 1895 年 ， 兩位荷蘭科學(xué)家科特維格(Kortweg)與德弗雷斯 (de Vries) 認(rèn)為：羅素觀察到的孤立波是波動(dòng)過(guò)程中 非線性效應(yīng)與色散現(xiàn)象互相平衡 的結(jié)果 。 他們建立了 KdV方程： sech(x)為雙曲正割函數(shù) , 具有鐘形形狀 。 漫長(zhǎng)的發(fā)展史 033??? x uxuutu ?????? )(2s e c h3)t,( 2 vtxvvxu ???FPU問(wèn)題 又過(guò)了半個(gè)多世紀(jì)， 1955年 ，美國(guó)阿爾莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，著名物理學(xué)家費(fèi)米 ()、帕斯塔 ()和烏萊姆 (Ulam) 設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)：“ 非線性彈簧聯(lián)結(jié)的 64個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成弦的振動(dòng) ”，發(fā)現(xiàn)初始對(duì) 少數(shù)質(zhì)點(diǎn)激發(fā) ， 長(zhǎng)時(shí)間后能量幾乎全部回到了初始集中在少數(shù)質(zhì)點(diǎn)上的狀態(tài) 。 1. 一個(gè)奇特的水波 漫長(zhǎng)的發(fā)展史 1965年 ， 兩位美國(guó)數(shù)學(xué)家 ， 采布斯基 (Zabusky)與克魯思卡爾 (Kruskal)， 用計(jì)算機(jī)計(jì)算發(fā)現(xiàn) ， FPU 問(wèn)題與 KdV 方程的解直接有關(guān) 。 此后 ， 人們發(fā)現(xiàn) ， 在許多物理體系中都存在 KdV方程 ， 說(shuō)明孤立波是一種普遍存在的物理現(xiàn)象 。 KdV方程成為數(shù)學(xué)物理的一個(gè)基本方程 1. 一個(gè)奇特的水波 孤立波方程 人們?cè)诶碚撋虾蛯?shí)驗(yàn)上對(duì)孤立波巳作了大量的研究。此后發(fā)現(xiàn)，除 KdV方程外還有其它微分方程具有孤立波解。 在數(shù)學(xué)上通常認(rèn)為下列非線性方程的解的性質(zhì)具有孤立波特性。 (1)KdV方程 (2)正弦 — 高登 (SineGordon)方程 (3)戶田 ()非線性晶格方程 (4)非線性薛定諤方程 (NLSE) 漫長(zhǎng)的發(fā)展史 在形態(tài)上孤立波是存在于自然界里的 相干結(jié)構(gòu) (coherent structure， 或稱擬序結(jié)構(gòu) )。 從美麗的木星上的巨型紅斑到固體中的電荷密度波都屬于這樣的有序結(jié)構(gòu) 。 從運(yùn)動(dòng)形態(tài)上講相干結(jié)構(gòu)與混沌運(yùn)動(dòng)既是相互對(duì)立的 ， 又是具有內(nèi)在聯(lián)系的兩種非線性現(xiàn)象 。 混沌運(yùn)動(dòng)是非線性中奇妙的無(wú)序狀態(tài) ， 相干結(jié)構(gòu)反映了非線性系統(tǒng)中的驚人有序性 。 孤立波 在尺度上：大到 天文范圍 (木星上巨型紅斑達(dá) 4 108米 ， 約地球與月亮之間的距離；泰國(guó)安達(dá)曼海面出現(xiàn)的孤立波約 150公里寬；水面上孤立水波的尺寸在 1米量級(jí) )， 小到納米 (二硫化鉭晶體中的電菏密度孤立波 )。 木星紅斑 孤立子 計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)在空間傳播的孤立波具有 碰撞 特性，說(shuō)明： (1)孤立波非常的穩(wěn)定； (2)象一個(gè)物質(zhì)粒子。 人們將具有碰撞特性孤立波稱為 “ 孤立子 soliton”， 簡(jiǎn)稱 “ 孤子 ” 。 孤立子是由非線性場(chǎng)所激發(fā)的 、 能量不彌散的 、 形態(tài)上穩(wěn)定的準(zhǔn)粒子 。 孤立子 定義 ①向單方向傳播的行波； ②分布在空間的一個(gè)小區(qū)域中； ③波動(dòng)形狀不隨時(shí)間演變而發(fā)生變化； ④孤立波之間的相互作用具有類似粒子一樣的彈性碰撞。 孤立子 具有一切粒子所具有的特性 ， 如能量 、 動(dòng)量 、 質(zhì)量 、 電荷 、 自旋等等 ， 也遵循一般的自然規(guī)律 ， 如能量 、 動(dòng)量 、 質(zhì)量守恒定律 。 它又有波動(dòng)性 ， 存在于一切可以出現(xiàn)波動(dòng)的介質(zhì)里 。 孤立波在哪里 ？ 孤立波除存在于淺水層外 ， 還可在水層深處 。 固體介質(zhì) 、 電磁場(chǎng) 、 等離子體、 生物體 、 以及微觀粒子的波動(dòng)性中都可能有孤立波存在 。 它是一種行波 ，既可以速度 v 在空間傳播 ， 又可以處于靜止?fàn)顟B(tài) 。 孤立波類型 ( i ) 波包型 (ii) 凹陷型 (iii) 扭折型 (iv)反扭折型 ( i )、 (ii) 兩種在 時(shí) ， (iii)、 (iv) 兩種是在 時(shí) , u(x)趨近于不同的數(shù)值 ???x0)( ?xu???x1. 波動(dòng)中的非線性會(huì)聚效應(yīng) 2. 波動(dòng)中的色散 3. KdV方程 4. KdV方程的孤立波解 第二節(jié) KdV 方程 1. 波動(dòng)的會(huì)聚效應(yīng) 浪花的形成 遠(yuǎn)處傳來(lái)的海浪越近海岸 ， 浪頭越高 ， 終于在離海岸不遠(yuǎn)處卷起了
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