【正文】 1 第八章 非線性控制系統(tǒng) ? 第一節(jié) 非線性系統(tǒng)的概述 ? 第二節(jié) 非線性元件的描述函數(shù) ? 第三節(jié) 用描述函數(shù)分析非線性控制系統(tǒng) ? 第四節(jié) 相軌跡 ? 第五節(jié) 奇點(diǎn)與極限環(huán) ? 第六節(jié) 非線性系統(tǒng)的相平面分析 2 第一節(jié) 非線性系統(tǒng)的概述 一 、 典型的非線性特性 （ 1） 飽和特性 ?????? ＞xxx 。 y ＜xx k x 。 ym 00s g n 系統(tǒng)若有飽和非線性元件，它的開環(huán)增益會大幅度地減小，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的過濾過程時間增加和穩(wěn)態(tài)誤差變大。 （ 2） 回環(huán)特性 圖 81 圖 82 圖 (a)為齒輪傳動中間隙，圖 (b)為齒輪傳動的輸入、輸出特性。 3 它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ? ?? ?齒輪間隙????????????????bθ 。 θθ＜θ。 bθk＞θ。 bθkθmii0s g n020200???1）回環(huán)非線性特性是多值的，對于一個給定的輸入，究竟取那一個值作為輸出，應(yīng)視該輸入的“歷史”決定。 2）系統(tǒng)中若有回環(huán)非線性元件存在，通常會使系統(tǒng)的輸出在相位上產(chǎn)生滯后，從而導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定量的減小、動態(tài)性能的惡化，甚至使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。 （ 3）死區(qū)特性 ? ?????＞Δxxx Δk＜Δxys g n0圖 83 4 1）使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大。 2）死區(qū)能濾去從輸入端引入的小幅值干擾信號，提高系統(tǒng)抗擾動的能力。 3）使系統(tǒng)的輸出在時間上滯后。 死區(qū)非線性特性對系統(tǒng)的主要影響 （ 4）繼電器特性 圖 84 ?????????????? ＞0x , max 。 b ＜0x , max 。 b max 。 b s g n x ＜0x , a ＜x ＜m a 。 0 ＞0x , m a ＜x ＜a 。 0????y繼電器非線性特性一般會使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且使穩(wěn)態(tài)誤差增大 。 5 二 、 非線性系統(tǒng)的特點(diǎn) 1）非線性系統(tǒng)的輸出與輸入間不存在著比例關(guān)系 ,且不適用疊加原理。 2）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān) ,而且也與初始條件和輸入信號的大小有關(guān)。 下面舉例說明初始偏差對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響 設(shè)非線性系統(tǒng)的微分方程為 當(dāng)初始偏差 x01時 ,1x00,方程具有負(fù)實(shí)根 ,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的 當(dāng) x01時 ,1x00,方程具有一個正的實(shí)根 ,系統(tǒng)為不穩(wěn)定 ? ? 01 ??? xxx?圖 85 非線性系統(tǒng)常會產(chǎn)生自持振蕩 1）描述函數(shù)法 用于研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩問題。 2）相平面法 只適用于一階和二階系統(tǒng)。 3）李雅普諾夫第二法。 研究非線性系統(tǒng)的方法 : 6 ??????? tBtAtBtAAy ???? 2c o s2s i nc o ss i n 22110一 、 描述函數(shù) 圖 86 非線性控制系統(tǒng) 圖中 G(s)為線性環(huán)節(jié) ,N為非線性元件 .若在 N的輸入端施加 一幅值為 X頻率為 ω的正弦信號 ,即 e=Xsinωt，則其輸出為： 第二節(jié) 非線性元件的描述函數(shù) 假設(shè) : 1）非線性元件的特性對坐標(biāo)原點(diǎn)是奇對稱的 ,即 A0=0 2） r(t)=0 3） G(s)具有良好的低通濾波器特性，能把 y中各項(xiàng)高次諧波濾掉，只剩一次諧波項(xiàng)。 7 ? ?11111 s i nc o ss i n ????? tYtBtAy ???? ?? ?ttdyBttdyAABBAY?????????c o s1s i n1a r c t a n,20120111121211???????則 其中 經(jīng)過線性化處理后，非線性元件的輸出是一個與其輸入信號同頻率的正弦函數(shù)，僅在幅值和相位上與輸入信號有差異。 非線性特性線性化的條件： 1）假設(shè)系統(tǒng)的輸入 r(t)=0 2）非線性元件的靜特性不是時間 t的函數(shù) 3）非線性元件的特性是奇對稱的，即有 ? ? ? ?efef ??? 118 4）系統(tǒng)的線性部分具有良好低通濾波器的性能 ，經(jīng)過線性化后，非線性元件的輸出與輸入的關(guān)系為 ： ? ?11212111 a rc t a nABXBAXYXN ????? ? N(X):非線性特性的描述函數(shù) 圖 87 用描述函數(shù)表示非線性特性的系統(tǒng) 二 、 非線性元件描述函數(shù)的舉例 （ 1）飽和非線性 由圖 88可知，輸出 y(t)是一個周期性的奇函數(shù)，因而它的傅氏級數(shù)展開式中沒有直流項(xiàng)，也沒有余弦項(xiàng)。即 A0=0， B1=0，φ1=0 ? ?? ?ttdyAtAtYty??????????20111s i n4s i ns i n 式中? ? ? ?ttdkSttdtkX ?????? ??? s i ns i ns i n4 20 ?? ??9 ? ???????????????????????????????????????21211a r c s i n21a r c s i n2a r c s i ns i ns i nXSXSXSπkXAX N XSXSXSπkX AXSβXSβSβX , 代入上式故由于圖 89 飽和非線性的描述函數(shù) 圖 88 ? ????? c oss i n2 ?? kX10 （ 2）理想繼電器型非線性 圖 810 由圖 810可知 ? ?? ?XMXAXNtMyMttdMABA?????????4s i n44s i n2,0,0,01101110?????????于是得圖 811 理想繼電器型 11 （ 3）死區(qū)非線性 圖 812死區(qū)非線性和非線性特性曲線 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ttdtXkttdtyttdtyAtAtyBAttttttXktttyt???????????????????????s i ns i n4 s i n4 s i n1 s i n 0,0,0 0s i n002202011111011111????????????????????????????????式中12 圖 813 死區(qū)非線性的描述函數(shù) 如果在系統(tǒng)中有兩個非線性元件相串聯(lián)，處理的方法為圖 814(b)所示： 圖 814 二個非線性元件相串聯(lián)的系統(tǒng) ? ??????????????? ?????????????????????? ???????????2121111a r c s i n2 1a r c s i n22 a r c s i n,s i nXXXkkXAXNXXXkXAXttX????? 得代入上式,其中13 在分析 非線性 系統(tǒng)穩(wěn)定 性 時，常用描述函數(shù)的負(fù)倒特性曲線，或者稱為 負(fù)倒描述函數(shù)。 飽和特性的負(fù)倒特性為 可見，當(dāng) X為定值時， 為一負(fù)實(shí)數(shù)。在復(fù)平面內(nèi)繪 出飽和特性的負(fù)倒特性曲線如圖 815所示，圖中箭頭表 示 X增大時，負(fù)倒特性曲線的變化方向。 ])(1)([ s i n21)(121XSASXSkXN ???????)(1XN?Im 0 圖 815 飽和特性負(fù)倒特性 k 1 ? X ? ? S X ? Re ) ( 1 X N ? 三 、 描述函數(shù)的負(fù)倒特性曲線 14 下面進(jìn)一步討論繼電特性的幾種特殊情況 （ 1）理想繼電器特性 (m=0) 理想繼電特性的描述函數(shù)：