非線性方程求根ppt課件(已修改)
2025-01-27 15:46 本頁(yè)面
【正文】 ? ?方法收斂的充分條件、定理 S OR9如果設(shè) ,bAx ???1 .。 ULDAA ???為對(duì)稱正定矩陣??2 .20 ?? ?.迭代法收斂的則解 S O RbAx ?、例 1.:,是收斂的求解方程組塞德?tīng)柕ㄓ酶咚棺C明為非奇異矩陣設(shè)bAxAAT ??證明： ,)( AAAA TTT ? ,0)()()(, ???? AxAxxAAxRx TTTn000)()()( ?????? xAxAxAxxAAx TTT.是對(duì)稱正定矩陣AA T?.1 迭代法時(shí)塞德?tīng)柕ň褪歉咚?S O R?? ?210 ??? ?塞德?tīng)柕傻糜酶咚褂啥ɡ??9.是收斂的求解 bAxA T ?、例 2.,)0()()1(收斂意初始向量對(duì)任證明迭代格式也正定若是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱正定矩陣假設(shè)xfAxxABABRARBkknnnn????????證明0,:?? xxAxA??即的任意一個(gè)特征值是迭代矩陣令0)( ???? xA B ABxA B AB T正定 0??? A B A xxBxx TT0??? B A xAxBxx TTT0)( ??? BAxAxBxx TT0)()( ??? xBxBxx TT ?? )(02 ???? BxxBxx TT ?,0?? BxxB T是對(duì)稱正定矩陣 ,101)( 2 ?????? ??1)(1, ??? AA ??? 的任意一個(gè)特征值是迭代矩陣?由基本定理 .)0()()1( 收斂對(duì)任意初始向量 xfAxx kk ??? .證畢課外作業(yè)：第 210頁(yè) 8 、定理 10 如果設(shè) ,bAx ???1? ?。陣為弱對(duì)角占優(yōu)不可約矩或?yàn)閲?yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣AA??2 10 ?? ?.迭代法收斂的則解 S O RbAx ?)(證明省略迭代法的收斂速度 ? ? ? ?0?? kk B? 則有為對(duì)稱矩陣假設(shè) ,B? ? ? ?2022 ??kk B? ? ?20)]([ ?? kB?)(ln10ln10)]([BskB sk?? ?????若、定義 5? ?.,)(ln)(簡(jiǎn)稱為迭代法收斂速度的漸近收斂速度一階定常法為迭代法稱 BBR ???.)(1)( 越小時(shí)迭代法收斂越快且如果 BB ?? ?)()(m i n: 20 optLLSO R ??? ?? ???的最佳超松弛因子? ?? ? 2112Jo p t ????? ? ? 的雅可比迭代法為解 bAxJ ??.的迭代矩陣的譜半徑?????? ????? ???? )()(m a x))(m a x()()( 1212m a xm a x2 BBBBB knkknkT ?????、迭代法及其收斂性 、不動(dòng)點(diǎn)迭代法 、定義 1),(0)( xxxf ??? 改寫(xiě)成等價(jià)形式假設(shè)方程,),(0)( 反之亦然即滿足若求 ???? ?? xxxfx ?為初值稱?????? , . . . )2,1,0(),()(10kxxxkk ?.不動(dòng)點(diǎn)迭代法的一個(gè)為函數(shù)則稱 )( xx ?? .不動(dòng)點(diǎn)第 7章、非線性方程求根 第 7章課外作業(yè)：第 238239頁(yè)： 7（ 1）（ 2）、 1 18 、不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性 、定理 1 :],[)( 滿足以下兩條件設(shè) baCx ????、1 。)(],[ bxabax ??? ?有對(duì)任意??、2yxLyxbayxL?????)()(],[,1??都有使得對(duì)任意存在正常數(shù).],[)( ?xbax 上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)在則 ?以上定理 1的證明： .先證不動(dòng)點(diǎn)存在性.],[)()()( 上存在不動(dòng)點(diǎn)在顯然或若 baxbbaa ??? ??,)()(,)( bbaabxa ???? ??? 及以下設(shè)因,)()( xxxf ?? ?定義函數(shù)且滿足顯然 ],[)( baCxf ?,0)()(。0)()( ?????? bbbfaaaf ??,0)( ??? xfx 使可知存在由連續(xù)函數(shù)的介值定理 ),( ?? ? xx ?即.)( 的不動(dòng)點(diǎn)即為 xx ??.再證唯一性 ,)(],[21 的不動(dòng)點(diǎn)都是及設(shè) xbaCxx ???????????? ???????21212121 )()(:)2(xxxxLxxxx ??得則由上述條件.引出矛盾.)( 的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的故 x?、定理 2 :],[)( 滿足以下兩條件設(shè) baCx ????、1 。)(],[ bxabax ??? ?有對(duì)任意??、2yxLyxbayxL?????)()(],[,1??都有使得對(duì)任意存在正常數(shù),)(}{,...)1,0(),(],[ 10?? ???xxxkxxbaxkkk的不動(dòng)點(diǎn)收斂到得到的迭代序列由則對(duì)任意??:并
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