傅立葉變換與濾波器形狀-展示頁(yè)
2025-05-11 06:11本頁(yè)面
【正文】 傅立葉變換基礎(chǔ) FOURIER TRANSFORM BASICS 離散時(shí)間傅立葉變換 (DTFT) 將信號(hào)或?yàn)V波器由時(shí)域 頻域 研究其頻率特性 frequency characteristics magnitude response phase response 對(duì)于濾波器 DTFT得到的信 息稱(chēng)為濾波器的頻率響應(yīng) frequency response 幅度響應(yīng) 相位響應(yīng) 信號(hào) x[n]的離散 (discrete)時(shí)間 (time)傅立葉變換(Fourier transform)定義為 F{x[n]} = x(Ω) = ∑ x[n] ejnΩ = ∑ x[n] (cos(nΩ) – jsin(nΩ)) Ω :數(shù)字頻率 ， Ω = 2π f/fs 弧度 Ω 不同，變換 x(Ω) 不同，當(dāng) x[n] 以接近頻率 Ω 變化時(shí)， x(Ω) 較大，離散時(shí)間傅立葉變換 x(Ω) 反應(yīng)了信號(hào)的頻率。 ∞ N=∞ ∞ N=∞ FIGURE 71 Signal resonance for the discrete time Fourier transform. Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing Copyright 169。2022 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. FIGURE 71 Signal resonance for the discrete time Fourier transform. Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing Copyright 169。2022 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. FIGURE 71 Signal resonance for the discrete time Fourier transform. Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing Copyright 169。 圖 解： 只有 4 個(gè)非零采樣值 ( n=0， 1， 2， 4)對(duì)變換有貢獻(xiàn)， 因而： X(Ω)= ∑ x[n] ejnΩ =2 ejΩ +3 ej2Ω + ej4Ω 一般情況下， DTFT 是復(fù)值。 解： 在 n0 和 n≥ 時(shí)，信號(hào)值都是零，所以： X(Ω) = ∑ x[n] ejnΩ = 4 +4ejΩ +4 ej2Ω ∞ N=∞ 離散時(shí)間傅立葉變換的兩個(gè)重要特性 周期性 (periodicity) 延時(shí)性 (time delay) 延時(shí)性：假設(shè) x[n] 的 DTFT 存在，為 X(Ω)，則 x[n – n0] 的 DTFT 為 ∑ x[n – n0] ejnΩ 。 ∞ N=∞ 返回 頻率響應(yīng)及其他形式 FREQUENCY RESPONSES AND OTHER FORMS 頻率響應(yīng)和差分方程 a0y[n]+ a1y[n – 1]+ a2y[n – 2]+…+ a Ny[n – N] =b0x[n]+ b1x[n – 1]+…+ b Mx[n – M] 每一項(xiàng)進(jìn)行 DTFT a0Y(Ω)+ a1ejΩY(Ω)+ a2ej2ΩY(Ω)+…+ aNejNΩY(Ω) = b0X(Ω)+ b1ejΩX(Ω)+…+ bMejMΩX(Ω) H(Ω)= = Y(Ω) X(Ω) b0+ b1ejΩ +…+ bMejMΩ a0+ a1ejΩ +… + aNejNΩ 例 求出與如下差分方程相對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)： y[n]+[n –1]+[n – 2]=x[n] – [n – 1] 解： 容易確定系數(shù) (coefficients)為 a0=1， a1=， a2=， b0=1， b1=。 例 求濾波器 的頻率響應(yīng)，它的傳輸函數(shù) (transfer function)是： H(z)= 1 – 2 1+ + 解： 頻率響應(yīng)為： H(Ω)= 1 – j2Ω 1+ + 頻率響應(yīng)和脈沖響應(yīng) (impulse response) 圖 描述濾波器方法 濾波器的傳輸函數(shù) H(z) 是脈沖響應(yīng) h[n] 的 z變換 x[n] δ[n] X(Ω)= ∑ δ[n] ejnΩ =1 y[n] h[n] Y(Ω)= ∑ h[n] ejnΩ H(Ω)= = Y(Ω) ∴ 頻率響應(yīng) H(Ω) 與脈沖響應(yīng) h[n] 的 DTFT 一樣。 解： 頻率響應(yīng)是脈沖響應(yīng) DTFT，見(jiàn)式 ()，因而得： H(Ω)= ∑ h[n] ejnΩ = 5 – ejΩ + – ej3Ω ∞ N=∞ 返回 頻率響應(yīng)和濾波器的形狀 FREQUENCY RESPONSE AND FILTER SHAPE 濾波器對(duì)正弦輸入的作用。 頻率響應(yīng) H(Ω) 是復(fù)數(shù)，可用極坐標(biāo) (polar form) H(Ω)=|H(Ω)|ejΘ(Ω) 表示 （附錄 A） |H(Ω)| 是數(shù)字濾波器在數(shù)字頻率 Ω 處的增益 (gain)。（弧度 或 度） 在每給定一個(gè)頻率，增益和相位差可用來(lái)預(yù)測(cè)濾波器的響應(yīng)。 Y(Ω)=|Y(Ω)|ejΘy(Ω) =|X(Ω)|ejΘx(Ω) |H(Ω)|ejΘ(Ω) =|X(Ω)||H(Ω)|ej(Θx(Ω)+Θ(Ω)) 幅值計(jì)算不能用分貝，都要轉(zhuǎn)成線形計(jì)算。 例：數(shù)字頻率
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