【正文】 第 7 章 傅立葉變換與濾波器形狀 CH7 FOURIER TRANSFORMS AND FILTER SHAPE 傅立葉變換基礎 (FOURIER TRANSFORM BASICS) 頻率響應及其他形式 (FREQUENCY RESPONSES AND OTHER FORMS) 頻率響應和濾波器形狀 (FREQUENCY RESPONSE AND FILTER SHAPE) 返回 專業(yè)詞匯 傅立葉變換： Fourier Transform 濾波器形狀： filter shape 頻率響應 :frequency response 頻率特性： frequency characteristics 離散時間傅立葉變換： Discrete Time Fourier Transform 幅度響應： magnitude response 相位響應： phase response 傳輸函數(shù)： transfer function 相位差： phase difference 采樣頻率： sampling frequency 傅立葉變換基礎 FOURIER TRANSFORM BASICS 離散時間傅立葉變換 (DTFT) 將信號或濾波器由時域 頻域 研究其頻率特性 frequency characteristics magnitude response phase response 對于濾波器 DTFT得到的信 息稱為濾波器的頻率響應 frequency response 幅度響應 相位響應 信號 x[n]的離散 (discrete)時間 (time)傅立葉變換(Fourier transform)定義為 F{x[n]} = x(Ω) = ∑ x[n] ejnΩ = ∑ x[n] (cos(nΩ) – jsin(nΩ)) Ω :數(shù)字頻率 ， Ω = 2π f/fs 弧度 Ω 不同，變換 x(Ω) 不同，當 x[n] 以接近頻率 Ω 變化時， x(Ω) 較大，離散時間傅立葉變換 x(Ω) 反應了信號的頻率。 ∞ N=∞ ∞ N=∞ FIGURE 71 Signal resonance for the discrete time Fourier transform. Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing Copyright 169。2022 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. FIGURE 71 Signal resonance for the discrete time Fourier transform. Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing Copyright 169。2022 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. FIGURE 71 Signal resonance for the discrete time Fourier transform. Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing Copyright 169。2022 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. FIGURE 71 Signal resonance for the discrete time Fourier transform. Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing Copyright 169。2022 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. FIGURE 71 Signal resonance for the discrete time Fourier transform. Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing Copyright 169。2022 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458 All rights reserved. 例 求圖 所示信號的離散時間傅立葉變換。 圖 解： 只有 4 個非零采樣值 ( n=0， 1， 2， 4)對變換有貢獻， 因而： X(Ω)= ∑ x[n] ejnΩ =2 ejΩ +3 ej2Ω + ej4Ω 一般情況下， DTFT 是復值。 ∞ N=∞ 例 求信號 x[n]=4(u[n] – u[n3]) 的 DTFT。 解： 在 n0 和 n≥ 時，信號值都是零，所以： X(Ω) = ∑ x[n] ejnΩ = 4 +4ejΩ +4 ej2Ω ∞ N=∞ 離散時間傅立葉變換的兩個重要特性 周期性 (periodicity) 延時性 (time delay) 延時性：假設 x[n] 的 DTFT 存在，為 X(Ω)，則 x[n – n0] 的 DTFT 為 ∑ x[n – n0] ejnΩ 。 ∞ N=∞ 令 m=n – n0 , n=m+n0 ∑ x[m] ej(m+n0)Ω = ejn0Ω ∑ x[m] ejmΩ = ejn0Ω X(Ω) ∞ N=∞ ∞ N=∞ 時域中延遲 n0 在頻率中引入一個復指數(shù) ejn