【正文】 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 引言 自適應(yīng)橫向?yàn)V波器 自適應(yīng)格型濾波器 最小二乘自適應(yīng)濾波 自適應(yīng)濾波的應(yīng)用 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 引 言 自適應(yīng)數(shù)字濾波器和維納濾波器一樣 ， 都是符合某種準(zhǔn)則的最佳濾波器 。 維納濾波器的參數(shù)是固定的 ， 適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的最佳濾波 ， 但要設(shè)計(jì)這種濾波器 ， 必須要求輸入信號(hào)是平穩(wěn)的 ， 且具有信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律的先驗(yàn)知識(shí) 。 在實(shí)際中 ， 常常無法知道這些先驗(yàn)知識(shí) ， 且統(tǒng)計(jì)特性還會(huì)變化 ， 因此實(shí)現(xiàn)最佳濾波是困難的 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)是：濾波器的參數(shù)可以自動(dòng)地按照某種準(zhǔn)則調(diào)整到最佳濾波；實(shí)現(xiàn)時(shí)不需要任何關(guān)于信號(hào)和噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí) ， 尤其當(dāng)輸入統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí) ， 自適應(yīng)濾波器都能調(diào)整自身的參數(shù)來滿足最佳濾波的需要 。 常常將這種輸入統(tǒng)計(jì)特性未知 ， 調(diào)整自身的參數(shù)到最佳的過程稱為 “ 學(xué)習(xí)過程 ” 。 將輸入信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí) ， 調(diào)整自身的參數(shù)到最佳的過程稱為 “ 跟蹤過程 ” ， 因此自適應(yīng)濾波器具有學(xué)習(xí)和跟蹤的性能 。 由于自適應(yīng)濾波器有這些特點(diǎn) ， 自 1967年威德諾 ()等人提出自適應(yīng)濾波器以來 ， 在短短十幾年中 ， 自適應(yīng)濾波器發(fā)展很快 ， 已廣泛地用于系統(tǒng)模型識(shí)別 ， 通信信道的自適應(yīng)均衡 ， 雷達(dá)與聲納的波束形成 ， 減少或消除心電圖中的周期干擾 ， 噪聲中信號(hào)的檢測(cè) 、 跟蹤 、 增強(qiáng)和線性預(yù)測(cè)等 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 自適應(yīng)橫向?yàn)V波器 自適應(yīng)濾波器的原理框圖如圖 ， 圖中 x(n)稱為輸入信號(hào) ， y(n)是輸出信號(hào) ， d(n)稱為期望信號(hào) ， 或者稱為參考信號(hào) 、 訓(xùn)練信號(hào) ， e(n)是誤差信號(hào) 。 其中 e(n)=d(n)y(n) 自適應(yīng)濾波器 H(z)的系數(shù)根據(jù)誤差信號(hào) ， 通過一定的自適應(yīng)算法 ， 不斷地進(jìn)行改變 ， 使輸出 y(n)最接近期望信號(hào) d(n)。 這里暫時(shí)假定 d(n)是可以利用的 ， 實(shí)際中 ， d(n)要根據(jù)具體情況進(jìn)行選取 ， 能夠選到一個(gè)合適的信號(hào)作為期望信號(hào) ， 是設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器的一項(xiàng)有創(chuàng)意的工作 。 如果真正的 d(n)可以獲得 ， 我們將不需要做任何自適應(yīng)濾波器 。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 自適應(yīng)濾波器原理圖 H ( z )y ( n )x ( n )d ( n )e ( n )＋－第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 自適應(yīng)線性組合器和自適應(yīng) FIR 1. 自適應(yīng)濾波器的矩陣表示式 圖 表示的是一個(gè)有 N個(gè)權(quán)系數(shù)的自適應(yīng)線性組合器 ， 圖中 N個(gè)權(quán)系數(shù) w1,w2,…,wN受誤差信號(hào) ej的自適應(yīng)控制 。 對(duì)于固定的權(quán)系數(shù) ， 輸出 yj是輸入信號(hào) x1j,x2j,…,xNj的線性組合 ， 因此稱它為線性組合器 。 這里的 x1j,x2j,…,xNj可以理解為是從 N個(gè)不同的信號(hào)源到達(dá)的瞬時(shí)輸入 ， 是一個(gè)多輸入系統(tǒng) ， 也可以是同一個(gè)信號(hào)源的 N個(gè)序貫樣本 ， 如圖 所示 。 因此它是一個(gè)單輸入系統(tǒng) ， 實(shí)際上這種單輸入系統(tǒng)就是一個(gè) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) ， 或者說是一個(gè)自適應(yīng)橫向?yàn)V波器 。 其輸出 y(n)用濾波器的單位脈沖相應(yīng)表示成下式： ?????10)()()(Nmmnxmwny() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 自適應(yīng)線性組合器 x1 jx2 jxNj…djejyjw1w2wN＋－第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 自適應(yīng) FIR濾波器 z－ 1z－ 1x ( n － 1) x ( n － 2) x ( n － N )z－ 1d ( n )e ( n )＋－y ( n )…x ( n )w2w3wN － 1wNw1第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 這里 w(n)稱為濾波器單位脈沖響應(yīng) ， 令： i=m+1,wi=w(i1), xi=x(ni+1)， n用 j表示 ， 上式可以寫成 ???Niijij xwy1() 這里 wi也稱為濾波器加權(quán)系數(shù) 。 用上面公式表示其輸出 ， 適合于自適應(yīng)線性組合器 ， 也適合于 FIR濾波器 。 將上式表示成矩陣形式： jjj XWWXy TT ??() 式中 T21T21 ],[,],[ NjjjjN xxxXW ?? ??誤差信號(hào)表示為 jjjjjjj XWdWXdyde TT ??????() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 2. 利用均方誤差最小準(zhǔn)則求最佳權(quán)系數(shù)和最小均方誤差 誤差信號(hào)被用來作為權(quán)系數(shù)的控制信號(hào) 。 下面采用均方誤差最小的準(zhǔn)則 ， 求最佳權(quán)系數(shù) 。 由 ()式 ， 均方誤差為 WXXEWWXdEdEydEeEjjjjjjjj][][(2][])[(][TTT222?????() 令 WXXEWWXdEXdER jjTjjjjdx ][][][ TT???() ??????????????????NjNjjNjjNjNjjjjjjNjjjjjjTjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxEXXER??????211211112111][() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 將 ()、 ()式代入 ()式， 得到 WRWWRdEeE xxdxjj TT22 2][][ ???() Rdx稱為 dj與 Xj的互相關(guān)矩陣 ， 是一個(gè) N維列矩陣； Rxx是輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣 ， (1)是對(duì)稱矩陣 ， 即 。 (2) 是正定或半正定的，因?yàn)閷?duì)于任意矢量 V滿足下式： xxTxx RR ?0])[(][ 2TTT ??? VXEVXXVEVRV Txx自相關(guān)矩陣的主對(duì)角線是輸入信號(hào)的均方值， 交叉項(xiàng)是輸入信號(hào)的自相關(guān)值。 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 ()式表明 ， 當(dāng)輸入信號(hào)和期望信號(hào)是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)時(shí) ， 均方誤差信號(hào) E［ e2j］ 是權(quán)系數(shù)的二次函數(shù) ， 即將 ()式展開時(shí) ， 公式中的權(quán)系數(shù)均以它的一次冪或二次冪出現(xiàn) 。 如果只有一個(gè)權(quán)系數(shù) w1,則 E［ e2j］ 是 w1的口向上的拋物線；如果有兩個(gè)權(quán)系數(shù) w1w2,則 E［ ej2］ 是它們的口向上的拋物面；對(duì)于兩個(gè)權(quán)系數(shù)以上的情況 ， 則屬于超拋物面性質(zhì) 。 E［ ej2］ 在自適應(yīng)信號(hào)處理中是一個(gè)重要的函數(shù) ， 經(jīng)常稱它為性能函數(shù) 。 為選擇權(quán)系數(shù) ， 使性能函數(shù)到達(dá)它的最小點(diǎn) ， 一些有用的自適應(yīng)方法都是基于梯度法的 ， 我們用 表示 E［ ej2］的梯度向量 ， 它是用 E［ ej2］ 對(duì)每個(gè)權(quán)系數(shù)求微分而形成的一個(gè)列向量 ， 用公式表示如下： j?第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 T22212 ][,][,][????????????????Njjjj weEweEweE?() 按照 ()式 , 梯度推導(dǎo)如下： ][2,221jjTNjjjjj XeEweweweeE ?????????????????????????? ?() 還可以用 ()式對(duì) W求導(dǎo)得到 dxxxj WRWR ??? 2() 令上式等于 0, 得到最佳權(quán)矢量 W*的表達(dá)式： dxxx RRW 1* ??() 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 對(duì)比第二章維納濾波器的最佳解 ， 結(jié)果是一樣的 。 上式也稱為維納權(quán)矢量 。 當(dāng)自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)滿足上式時(shí) ， 均方誤差將取最小值 。 將 ()式代入 ()式得到最小均方誤差： *2***2m i n22][2][][WRdEWRWWRdEeETdxjxxTTdxjj????? () 或者將上式取轉(zhuǎn)置，用下式表示： dxTjj RWdEeE *2m i n2 ][][ ??() 我們知道 ， 在維納濾波器中 ， 當(dāng)濾波器的單位脈沖響應(yīng)取最佳值時(shí) ， 其誤差信號(hào)和輸入信號(hào)是正交的；這里也有相同的結(jié)果 ， 當(dāng)權(quán)矢量取最佳值時(shí) ， 梯度為 0， 按照 ()式： 0][2 ???? jjj XeE第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 例 一個(gè)單輸入的二維權(quán)矢量自適應(yīng)濾波器如圖 ， 圖中輸入信號(hào)與期望信號(hào)分別為 ?????????????? jNdjNx jj π2c os2,π2s i n這兩個(gè)信號(hào)都是周期性確定性信號(hào) ， 因?yàn)槿魏握液瘮?shù)積的期望值 ， 都可由這個(gè)積在一個(gè)或多個(gè)周期上作時(shí)間平均來計(jì)算 ， 可以推導(dǎo)出下面公式 ［ 6］ : ??????????????????????????????????????????????2c o 2c o 1,0π2s i n)(π2s i nπ2c o s2][1,0π2c o )(π2s i nπ2s i n1][2111211NNxxxxxxERnnNnjNjNNxdEnnNnjNjNNxxEjjjjjjxxNjnjjNjnjj??第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 TT12s i n,0],[?????? ???? NxdxdER jjjjdx?2π2s i n2π2c o s)(π2s i n021π2c o sπ2c o s1][2][][2212221212121TT22??????????????????????????????????????????NwNwwwNwwNNwwWRWWRdEeExxdxjj第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 圖 兩個(gè)權(quán)的自適應(yīng)濾波器 w1z－ 1xjw2djyj＋－ej第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 上式表明性能函數(shù) E［ ej2］ 對(duì)權(quán)函數(shù)是二次型的 ， 用 ()式求梯度向量 ， 得到 ??????????????????????????????????????????????????NwNwNwwNwwNNRWRdxxxjπ2s i n2π2c o sπ2c o sπ2s i n021π2c o sπ2c o s122212121求最佳權(quán)矢量可以用 ()式 ， 通過對(duì) Rxx求逆得到 ， 也可以通過上式 ， 令 ， 而求出： 0?? jTT21* π2c s c2,π2c ot2][?????? ???NNwwW第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 用 ()式求最小均方誤差： 0π2c s c2π2c o t2π2s i n02][min][ *T22 ?????????????????????????NNNWRdEeE dxjj上式說明只要 N＞ 2,不管 N取多少 ， 通過對(duì)權(quán)系數(shù)的調(diào)整可使均方誤差達(dá)到 0， 此時(shí)輸出信號(hào) yj完全等于期望信號(hào) dj, 例如 N=2， 按照上面公式 ， 可以求出輸入 、 輸出信號(hào)以及最佳權(quán)系數(shù)如下： 第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 ???????????????????????????jdjxwxwyjxjjjjj2πc o s22πc o s22πs i n]20[][121T*2*