【正文】 0Ω 周期性： X(Ω+2π )= ∑ x[n] ejn(Ω+2π) = ∑ x[n] ejnΩ? ejn2π ∞ N=∞ ∞ N=∞ 歐拉公式： ejn2πn =cos(2πn) – jsin(2πn) = 1 ∴ X(Ω+2π ) = ∑ x[n] ejnΩ = X(Ω) ∴ DTFT 是周期的，周期為 2π ，也就是 DTFT對于所有的 Ω，每 2π 重復(fù)一次。 ∞ N=∞ 返回 頻率響應(yīng)及其他形式 FREQUENCY RESPONSES AND OTHER FORMS 頻率響應(yīng)和差分方程 a0y[n]+ a1y[n – 1]+ a2y[n – 2]+…+ a Ny[n – N] =b0x[n]+ b1x[n – 1]+…+ b Mx[n – M] 每一項進(jìn)行 DTFT a0Y(Ω)+ a1ejΩY(Ω)+ a2ej2ΩY(Ω)+…+ aNejNΩY(Ω) = b0X(Ω)+ b1ejΩX(Ω)+…+ bMejMΩX(Ω) H(Ω)= = Y(Ω) X(Ω) b0+ b1ejΩ +…+ bMejMΩ a0+ a1ejΩ +… + aNejNΩ 例 求出與如下差分方程相對應(yīng)的頻率響應(yīng)： y[n]+[n –1]+[n – 2]=x[n] – [n – 1] 解： 容易確定系數(shù) (coefficients)為 a0=1， a1=， a2=， b0=1， b1=。 濾波器的頻率響應(yīng)為： H(Ω)= = Y(Ω) X(Ω) b0+ b1ejΩ +…+ bMejMΩ a0+ a1ejΩ +… + aNejNΩ = 1 – 1+ + 頻率響應(yīng)和傳輸函數(shù) 對照式 傳輸函數(shù)，頻率響應(yīng)是把傳輸 函數(shù)中所有 z1 換為 ejΩ 。 例 求濾波器 的頻率響應(yīng)，它的傳輸函數(shù) (transfer function)是： H(z)= 1 – 2 1+ + 解： 頻率響應(yīng)為： H(Ω)= 1 – j2Ω 1+ + 頻率響應(yīng)和脈沖響應(yīng) (impulse response) 圖 描述濾波器方法 濾波器的傳輸函數(shù) H(z) 是脈沖響應(yīng) h[n] 的 z變換 x[n] δ[n] X(Ω)= ∑ δ[n] ejnΩ =1 y[n] h[n] Y(Ω)= ∑ h[n] ejnΩ H(Ω)= = Y(Ω) ∴ 頻率響應(yīng) H(Ω) 與脈沖響應(yīng) h[n] 的 DTFT 一樣。 ∞ N=∞ ∞ N=∞ Y(Ω) X(Ω) 例 數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)為： h[n]=5 δ[n] – δ[n – 1]+[n – 2] – [n – 3] 求濾波器的頻率響應(yīng)的表達(dá)式。 解： 頻率響應(yīng)是脈沖響應(yīng) DTFT，見式 ()，因而得： H(Ω)= ∑ h[n] ejnΩ = 5 – ejΩ + – ej3Ω ∞ N=∞ 返回 頻率響應(yīng)和濾波器的形狀 FREQUENCY RESPONSE AND FILTER SHAPE 濾波器對正弦輸入的作用。 Filter Effects on Sine Wave Inputs Y(Ω)= H(Ω)?X(Ω) y[n]=F1{Y(Ω)} 對于 DTFT 方法一般僅求取正弦輸入時的輸出。 頻率響應(yīng) H(Ω) 是復(fù)數(shù)，可用極坐標(biāo) (polar form) H(Ω)=|H(Ω)|ejΘ(Ω) 表示 （附錄 A） |H(Ω)| 是數(shù)字濾波器在數(shù)字頻率 Ω 處的增益 (gain)。 （無單位，或 dB 20log|H(Ω)| ) Θ(Ω) 是數(shù)字濾波器在數(shù)字頻率 Ω 處的相位差 (phase difference)。（弧度 或 度） 在每給定一個頻率，增益和相位差可用來預(yù)測濾波器的響應(yīng)。 增益是對輸入的放大量 (amplification) 相位差決定了輸入的相位變化。 Y(Ω)=|Y(Ω)|ejΘy(Ω) =|X(Ω)|ejΘx(Ω) |H(Ω)|ejΘ(Ω) =|X(Ω)||H(Ω)|ej(Θx(Ω)+Θ(Ω)) 幅值計算不能用分貝，都要轉(zhuǎn)成線形計算。 對于任一給定頻率 Ω ，輸出的幅度是濾波器的增益和 輸入幅度的積，輸出的相位是濾波器的相位差和輸入 相位的和。 例：數(shù)字頻率為 ，在此頻率下，濾波器增益為 21dB，相位差為86186。，如果輸入幅度為 20，相位為 12186。，則輸出幅度和相位是多少？ 解：輸入簡式為 ，這是余弦信號 的縮寫，在 ，濾波器增益為 21 dB，但這個值不能用于計算，必須用 轉(zhuǎn)換為線性值。因?yàn)橄辔徊顬?86186。，頻率響應(yīng)的簡式為 。輸出是頻率響應(yīng)和輸入信號在傅里葉變換域的乘積： 2 0 1 22 0 c o s ( 1 . 5 1 2 )n ?2 1 / 2 01 0 0 .0 8 9 1? ?0 .0 8 9 1 8 6( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 . 0 8 9 1 8 6 1 . 7 8 2 9 8[ ] 1 . 7 8 2 c o s ( 1 . 5 9 8 )Y H Xy n n? ? ? ? ? ??? 幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) 數(shù)字頻率 Ω 處的頻率響應(yīng) H(Ω) 用極坐標(biāo)形式 H(Ω)=|H(Ω)|ejΘ(Ω) 所有數(shù)字頻率處的增益的集合稱為濾波器的幅度響應(yīng) 所有數(shù)字頻率處的相位差的集合稱為濾波器的相位響應(yīng) 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。 例：一系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 求該系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)，并畫出圖。幅度響應(yīng)是增益對數(shù)字頻率（弧度 )的關(guān)系圖 .相位響應(yīng)是相位 (弧度 )對數(shù)字頻率 (弧度 )的關(guān)系圖 .數(shù)字頻率范圍是 1()1 0 . 4 jH e ???? ?~3???解 : 弧度間隔選擇是任意的 ,要獲得更高的準(zhǔn)確度可選用更小的間隔 .對于 弧度 ,采用非極坐標(biāo)計算 : 3 / 4???3 / 411( 3 / 4) )331 0. 41 0. 4(c os ( ) s i n( ) )44111 0. 4 ( 0. 70 71 0. 70 71 ) 1. 28 28 0. 28 281 1. 28 28 0. 28 281. 28 28 0. 28 28 1. 28 28 0. 28 280. 74 34 0. 16 39 0. 76 12 0. 21 70jHejjjjjjj????????????? ? ? ? ?????? ? ? ?幅度響應(yīng)是周期性的 ,每 2 弧度重復(fù)一次 ,幅度響應(yīng)是偶函數(shù) ?( ) ( )HH? ? ? ?相位響應(yīng)是周期性的 ,每 2 弧度重復(fù)一次 ,幅度響應(yīng)是奇函數(shù) ?( ) ( )??? ? ? ? ?所以 ,一般沒有必要記錄幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)在 左邊部分 ,而且 ,考慮 的值沒有實(shí)際意義 ,所以實(shí)際數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)一般畫出 部分 . 幅度響應(yīng) :線性增益