【正文】 軸旋轉(zhuǎn) π/2或 π/2的整數(shù)倍 的操作 ,都能使晶體的 外形保持不變 ,這就是 晶體的對稱性 . 操作前后晶體保持自身重合的操作 ,稱為 對稱操作 . 晶體借以進行對稱操作的 軸 、 平面 或 點 .稱為 對稱元素 （簡稱 對稱素 ） . 這種對稱性不僅表現(xiàn)在晶體的幾何外形上 ,而且反映在晶體的宏觀物理性質(zhì)中 ,稱為 晶體的宏觀對稱性 . 一、晶體的宏觀對稱性和宏觀對稱操作 1. 概念解釋 晶體的宏觀對稱性 就是晶體外形所包圍的 點陣結構的對稱性 . 晶體的宏觀對稱性來源于點陣結構的對稱性，相應的宏觀對稱操作是一種 非平移對稱操作 。第三節(jié) 晶體的對稱性和分類 本節(jié)主要內(nèi)容 : 一、晶體的宏觀對稱性和宏觀對稱操作 二、晶體的微觀對稱性和微觀對稱操作 三、群和晶體結構的分類 物體的性質(zhì)在不同方向或位置上有規(guī)律地重復出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為 對稱性 對稱性的 本質(zhì)是 指系統(tǒng)中的 一些要素是等價的 ，它可使復雜物理現(xiàn)象的描述變得簡單、明了。因為對稱性越高的系統(tǒng)，需要獨立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來就越簡單，且能大大簡化某些計算工作量 。 晶體結構可以用布拉維格子或布拉維點陣來描述 ,這樣以來 ,晶體變?yōu)闊o限大的空間點陣 .從而 ,晶體具有了平移對稱性 ,借助于點陣平移矢量 ,晶格能夠完全復位 .我們把考慮平移后的對稱性稱為晶體的 微觀對稱性 . 由于晶體的宏觀對稱操作不包含平移 ,所以宏觀對稱操作時 ,晶體至少保持有一個點不動 ,相應的對稱操作又稱為 點對稱操作 . 2. 對稱操作的變換矩陣 從數(shù)學角度來看 ,晶體的點對稱操作實質(zhì)上是對晶體進行一定的 幾何變換 ,它使得晶體中的某一點 / / / /( , , ) ( , , ) ( , , )r x y z r x y z A r x y z?? 寫成 矩陣形式 ，則有 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aaaxxxyzz ayyz????????????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ??????? ??? ?1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aaaxxxyzz ayyz????????????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ??????? ??? ?其中： A為變換矩陣 ,由于點對稱操作 不改變兩點間的距離 ,所以易證 A是一個 正交矩陣 .亦即滿足 xryz???????????xryz???????????????1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aA a a aa a a?????????TA A E?兩點間的距離不變 ,即 2 2 2 2 2 2x y z x y z? ? ?? ? ? ? ?//TTr r r r?// ( ) ( )TT TTTr r r r A r A r rAAr? ? ? ?用矩陣表示即 / / / /( , , ) ( , , )r x y z A r x y z?得證 . 以上證明顯示 ,如果晶體在某 正交變換 下不變 ,就稱這個 正交變換 是晶體的一個 點對稱操作 . （ 1）繞某一軸的旋轉(zhuǎn) (rotation about an axis) c o s s ins in c o sxxy y zz y z?????? ??? ???? ? ???三維晶體的點對稱操作通常總可以表示為繞某一軸的旋轉(zhuǎn)、對某中心的反演和它們的組合 . 點對稱操作對應的變換矩陣 A的具體形式 比如：繞 x軸的旋轉(zhuǎn)，設轉(zhuǎn)角為 θ，則有： 1 0 00 c o s sin0 sin c o sxxyyzz?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?同理可得繞 y軸和繞 z軸的變換矩陣 1 0 00 c o s sin0 sin c o sxA ??????????????1A ?所以， 繞 x軸旋轉(zhuǎn)的 變換矩陣為 ： c o s 0 sin0 1 0sin 0 c o syA??????????????c o s sin 0sin c o s 00 0 1zA??????????????且矩陣行列式 均為： （ 2）中心反演 (inversion through a point) xxyyzz? ???? ????? ? ???1 0 00 1 00 0 1A?????? ? ??? ???1A ?? 如果 ,晶體有對稱中心 ,則中心反演也是對稱操作 . 對原點的反演使得 (x, y, z) → ( x, y, z)，即 ： 1 0 00 1 00 0 1xxyyzz? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?(3) 鏡面反映 (Reflection across a plane) 一個鏡面反映對稱操作 (symmetry operation of mirror image)意味著將點陣對應于某一個面進行反射 ,點陣保持不變 .這表明 一系列格點對應于這個反射面的位置是等價的 ,點陣具有鏡面反射對稱性 .如 以 xy面為鏡面 ，則 (x, y, z) →(x, y, z)。 3. 宏觀對稱操作和宏觀對稱元素 繞固定軸的轉(zhuǎn)動 (rotation about an axis)、 中心反演 (inversion through a point)和 鏡面反映 (Reflection across a plane)是晶體中的三種 基本的點對稱操作 。 一個晶體的 對稱操作愈多 ,就表明它的 對稱性愈高 . 但是 ,由于 晶體的宏觀對稱性 是受到 微觀周期性 的 制約和影響 ,所以 ,晶體的宏觀對稱元素不是任意的 . 對于 旋轉(zhuǎn)對稱操作 (rotational symmetry operation)來說，由于 晶體周期性的限制 ，轉(zhuǎn)角 θ只能是 2π/n， n= 4和 6。 晶體中允許的轉(zhuǎn)動對稱軸只能是 4和 6次軸，稱為 晶體的對稱性定律 晶體的對稱性定律的證明 如果 繞 A轉(zhuǎn) ?角 ,晶格保持不變 (對稱操作 ).則該操作將使 B 格點轉(zhuǎn)到 位置 ,則由于轉(zhuǎn)動對稱操作不改變格子 ,在 處必定原來就有一個格點。