【正文】 1). 一個(gè)晶體如果具有 鏡像反映對(duì)稱性 ,則該對(duì)稱操作變矢量左旋為右旋 ,因而該晶體 無旋光性 ； (2). 一個(gè)晶體如果具有 中心反演對(duì)稱性 ，則該對(duì)稱操作使矢量改變符號(hào)，因而該晶體 無固有偶極矩 。 n 由于晶體周期性的限制， 旋轉(zhuǎn)反演軸 也必須遵循 晶體的對(duì)稱性定律 ，即： 1 , 2 , 3 , 4 , 6n ?旋轉(zhuǎn) 反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素 。因?yàn)閷?duì)稱性越高的系統(tǒng)，需要獨(dú)立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來就越簡(jiǎn)單，且能大大簡(jiǎn)化某些計(jì)算工作量 。其中數(shù)字 n( 6)表示 純轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作 (或轉(zhuǎn)動(dòng)軸 )； i表示中心反演（或?qū)ΨQ中心）； m表示鏡面反映（或?qū)ΨQ鏡面）。因而有 : / TAA? ? ???對(duì)于具有立方對(duì)稱的晶體 ,有三條 4次軸 ,設(shè)某一條 沿著 z軸 ,由于轉(zhuǎn) 180度晶體復(fù)原 ,所以： c o s s in 0 1 0 0s in c o s 0 0 1 00 0 1 0 0 1zA??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 31 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1TzzAA? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?1 1 1 2 1 1 1 22 1 2 2 2 1 2 23 3 3 31 3 1 32 3 2 33 1 3 2 3 1 3 2? ? ? ?? ? ??????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?????? ??? ?? ? ?1 3 2 3 3 1 3 2 0? ? ? ?? ? ? ? ?類似 沿著 x軸 ,轉(zhuǎn) 180度晶體復(fù)原 ,所以： 1 0 00 1 00 0 1xA?????????? ???TAA???代入 可得： 1 1 1 2 1 1 1 22 1 2 2 2 1 2 23 3 3 300000 0 0 0? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 1 0??? ? ?進(jìn)一步選擇 沿著 111方向轉(zhuǎn) 120度晶體復(fù)原 ,所以以 111軸為坐標(biāo)系的變換矩陣為 ： 1 2 3 2 0c o s sin 0sin c o s 0 3 2 1 2 00 0 1 0 0 1zA???????????????? ? ?????????TAA???代入 可得： 112233000000?????????????1 1 2 2???1 0 00 1 2 3 20 3 2 1 2xA????? ? ??? ???進(jìn)一步選擇 可得： 1 1 2 2 3 3? ? ???令： 1 1 2 2 3 3 0? ? ? ?? ? ? 則有： 0? ? ? ?? ? ?? 亦即對(duì)于具有立方對(duì)稱的晶體 ,介電常數(shù)退化為一個(gè)標(biāo)量 . 對(duì)于具有正四面體對(duì)稱的晶體 ,證明方法相同 ,可在上面的證明中指出所選對(duì)稱操作完全適用于正四面體 . 對(duì)于具有六角對(duì)稱的晶體： 對(duì)六角晶系，繞 x(即 a)軸旋 180度 和繞 z(即 c)軸旋轉(zhuǎn) 120 度都是對(duì)稱操作． x1 0 0A 0 1 00 0 1??????????＝1 2 3 2 03 2 1 2 00 0 1zA????????????TAA???代入 可證 . 注意有的題解上寫成 ,則矩陣 A需要轉(zhuǎn)置 . TAA???二、晶體的微觀對(duì)稱性和微觀對(duì)稱操作 上面我們主要討論了晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作。 T是平移方向的周期 , n可取 2或 4。 如 A1型 fcc結(jié)構(gòu) 和 B3型立方 ZnS結(jié)構(gòu) ,按照點(diǎn)陣來說 ,都屬于 立方晶系 Oh群 。 D4h群，具有一條 4次軸、四條 2次軸和 i，所以有 16個(gè)群元素 。 a bc? ? ? 布拉維格子 要求 每一個(gè)格點(diǎn)周圍的環(huán)境必須一致，也就是格點(diǎn)必須完全等同 ，所以 7個(gè)晶系加心方式受到限制， 有些點(diǎn)陣加心后沒有形成新格子 ， 還有一些根本不屬于布拉維格子 . 把 不加心 的格子記為 P（簡(jiǎn)單格子） 。 36/p m m c晶體結(jié)構(gòu)的群表示符號(hào)的用處： 1942年 美國(guó)材料試驗(yàn)協(xié)會(huì)出版了一套卡片，約 1300張，通常稱為 ASTM卡片 ，用來標(biāo)記人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的材料的晶體學(xué)性質(zhì)，以后，逐步增加和修改。 B— 底心 (a和 c形成的底面 )。 把 微觀對(duì)稱操作 也考慮進(jìn)來，進(jìn)一步討論點(diǎn)陣和晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱類型。 D3d群 ，具有 一條 3次軸、三條與 3次軸垂直的 2次軸和 i，所以有12個(gè)群元素 。 理論和實(shí)驗(yàn)證明 ,在點(diǎn)對(duì)稱操作基礎(chǔ)上 ,如果 忽略基元的對(duì)稱性 ,也就是僅僅從 三維空間點(diǎn)陣 （或布拉維格子）角度來說 ,只存在 7種不同的點(diǎn)群 ,稱為 7個(gè)晶系 。其中 T是軸方向的周期， l是小于 n的整數(shù)。 4. 宏觀對(duì)稱操作和物理性質(zhì) 對(duì)于一個(gè)具體的晶體材料，如果知道了它的點(diǎn)對(duì)稱性，那么它的某種物理性質(zhì)就可以確定，這稱為 Neumann原理 。 如果一個(gè)晶體 先繞某軸旋轉(zhuǎn) 2π/n，再進(jìn)行 中心反演 后，晶體保持不變，稱該軸為 n次（或 n度） 旋轉(zhuǎn)反演軸 ，記為 。 我們這里要討論的主要是 晶體（晶格或點(diǎn)陣 )的對(duì)稱性 (symmetry of lattice). 一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作 晶體的對(duì)稱性 可以從晶體外形的規(guī)則性上反映出來 ,如 sc、 bcc、 fcc結(jié)構(gòu)的立方晶體 ,繞晶胞的任一 基矢軸旋轉(zhuǎn) π/2或 π/2的整數(shù)倍 的操作 ,都能使晶體的 外形保持不變 ,這就是 晶體的對(duì)稱性 . 操作前后晶體保持自身重合的操作 ,稱為 對(duì)稱操作 . 晶體借以進(jìn)行對(duì)稱操作的 軸 、 平面 或 點(diǎn) .稱為 對(duì)稱元素 （簡(jiǎn)稱 對(duì)稱素 ） . 這種對(duì)稱性不僅表現(xiàn)在晶體的幾何外形上 ,而且反映在晶體的宏觀物理性質(zhì)中 ,稱為 晶體的宏觀對(duì)稱性 . 一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作 1. 概念解釋 晶體的宏觀對(duì)稱