【正文】 中心反演 (inversion through a point)和 鏡面反映 (Reflection across a plane)是晶體中的三種 基本的點(diǎn)對(duì)稱操作 。相應(yīng)的 對(duì)稱元素 有 :對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、對(duì)稱面 。 一個(gè)晶體的 對(duì)稱操作愈多 ,就表明它的 對(duì)稱性愈高 . 但是 ,由于 晶體的宏觀對(duì)稱性 是受到 微觀周期性 的 制約和影響 ,所以 ,晶體的宏觀對(duì)稱元素不是任意的 . 對(duì)于 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作 (rotational symmetry operation)來說，由于 晶體周期性的限制 ，轉(zhuǎn)角 θ只能是 2π/n， n= 4和 6。 晶體只能具有 有限個(gè)數(shù) 的宏觀對(duì)稱操作或?qū)ΨQ元素，對(duì)稱元素的 組合也是一定的 ，這稱為晶體的 宏觀對(duì)稱性破缺 如果一個(gè)晶體 繞某軸旋轉(zhuǎn) 2π/n及其倍數(shù)不變 ，稱 該軸為 n次（或 n度）旋轉(zhuǎn)軸 。 晶體中允許的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱軸只能是 4和 6次軸，稱為 晶體的對(duì)稱性定律 晶體的對(duì)稱性定律的證明 如果 繞 A轉(zhuǎn) ?角 ,晶格保持不變 (對(duì)稱操作 ).則該操作將使 B 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 位置 ,則由于轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作不改變格子 ,在 處必定原來就有一個(gè)格點(diǎn)。 B?B?因?yàn)?B 和 A 完全等價(jià) ,所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞 B 進(jìn)行 . 如圖 ,A為格點(diǎn) ,B為離 A最近的格點(diǎn)之一 ,則與 平行的格點(diǎn)之間的距離一定是 的 整數(shù)倍 。 ABAB由此可設(shè)想繞 B 轉(zhuǎn) ?角，這將使 A 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 的位置。同樣 處原來也必定有一個(gè)格點(diǎn) A?A?A BA?B?? ? aaa亦即 ： 2 c o s ( )a a m a??? ? ? 1 2 c o sm ????1 c o s 1?? ? ?而且 ,m必須為整數(shù) ,所以 ,m只能取 1,0,1,2,3 由于 組成等腰梯形 , ABA B??,A B m AB m a?? ??m為整數(shù) A BA?B?? ? aaa因此 與 m=1,0,1,2,3相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為 : 22222 , , , , 1 , 6 , 4 , 3 , 26 4 3 2 n??????? ? ? 通常把晶體中 軸次最高的轉(zhuǎn)動(dòng)軸 稱作 主對(duì)稱軸 ，簡稱 主軸 (但是立方晶系則以 3次軸為主軸 ),其它為 副軸 . 晶體的對(duì)稱操作除了 旋轉(zhuǎn)、中心反演和鏡面反映 3種基本對(duì)稱操作外，在某些晶體中還存在著 等價(jià)于相繼進(jìn)行兩個(gè)基本對(duì)稱操作 (乘法 )而得到的獨(dú)立對(duì)稱操作 ，稱為組合操作 ，從而出現(xiàn) 新的對(duì)稱元素 上述操作稱為 非純旋轉(zhuǎn)操作 。 如果一個(gè)晶體 先繞某軸旋轉(zhuǎn) 2π/n，再進(jìn)行 中心反演 后，晶體保持不變，稱該軸為 n次（或 n度） 旋轉(zhuǎn)反演軸 ，記為 。 n 由于晶體周期性的限制， 旋轉(zhuǎn)反演軸 也必須遵循 晶體的對(duì)稱性定律 ，即： 1 , 2 , 3 , 4 , 6n ?旋轉(zhuǎn) 反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素 。 1 2 i?11 2 3 4 5 6 i?? 331 2 m?21?1次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價(jià)于對(duì)稱中心 i 2次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價(jià)于垂直于該軸的對(duì)稱鏡面 m 3次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價(jià)于 3次純旋轉(zhuǎn)軸加上對(duì)稱中心 ,記為 1 i?2 m?33 i??A B D C E F G H 只有具有 4次旋轉(zhuǎn)反演軸的晶體 ,既沒有 4次純旋轉(zhuǎn)軸 ,也沒有對(duì)稱中心i，但包括一個(gè)與 4次旋轉(zhuǎn)反演軸重合的 2次軸 . 6=3+m 1 2 3 4 5 6 639。 1?2?3?4?5?C?A?D?G? F?H? E?B?6次旋轉(zhuǎn)反演軸等價(jià)于 3次純旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對(duì)稱鏡面 m，記為 63 m??所以 旋轉(zhuǎn)反演軸 中只有 是獨(dú)立的對(duì)稱素 4旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作中只有 4度旋轉(zhuǎn)反演 對(duì)稱操作是獨(dú)立的 晶體中獨(dú)立的宏觀對(duì)稱操作 (或?qū)ΨQ元素 )只有 8種 , 即： i、 m、 。其中數(shù)字 n( 6)表示 純轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作 (或轉(zhuǎn)動(dòng)軸 )； i表示中心反演（或?qū)ΨQ中心）； m表示鏡面反映（或?qū)ΨQ鏡面）。 41 2 3 4 43? 1?4?2? 還有一些其它的組合操作，如 旋轉(zhuǎn) +鏡面反映 ，但不再給出新的對(duì)稱元素。 這種表示方法屬于 國際符號(hào) (International notation)標(biāo)記法，是海爾曼 (Hermann)和毛袞(Mauguin)制訂的，在 晶體結(jié)構(gòu)分析中 經(jīng)常使用。 還有一套標(biāo)記法，是 固體物理中慣用的標(biāo)記 ，是熊夫利 (Schoenflies)制訂的，因此稱為 熊夫利符號(hào) (Schoenflies notation). 熊夫利符號(hào)中 Cn 表示旋轉(zhuǎn)軸； Sn 表示旋轉(zhuǎn)反演軸； Ci 表示中心反演； Cs 表示鏡面反映。 總之， 晶體的所有點(diǎn)對(duì)稱操作 都可由這 8種操作或它們的組合來完成。 晶體中 8種獨(dú)立的宏觀對(duì)稱元素（或?qū)ΨQ操作）用 熊夫利符號(hào)標(biāo)記 則為 C1， C2， C3， C4， C6 ， Ci，Cs， S4。 例如立方對(duì)稱有 三條 4次軸 100，繞每個(gè) 4次軸旋轉(zhuǎn) π/ π、 3π/2都是對(duì)稱操作，這樣對(duì)于三條 4次軸，共有 9個(gè) 對(duì)稱操作 ；還有 四條 3次軸111（空間對(duì)角線），繞每個(gè) 3次軸旋轉(zhuǎn) 2π/4π/3都是對(duì)稱操作，這樣對(duì)于四條 3次軸，共有8個(gè) 對(duì)稱操作 ；再就是 六條 2次軸 110（面對(duì)角線），繞每個(gè) 2次軸旋轉(zhuǎn) π都是對(duì)稱操作，這樣對(duì)于六條 2次軸，共有 6個(gè) 對(duì)稱操作； 不動(dòng) （旋轉(zhuǎn) 2π）本身也是 1個(gè) 對(duì)稱操作。所以 純旋轉(zhuǎn)操作加起來共 24個(gè) ，由于立方對(duì)稱有對(duì)稱中心，所以純旋轉(zhuǎn)操作加上中心反演的組合操作，即 非純旋轉(zhuǎn)操作 共 24個(gè) ，合起來 48個(gè) 。 由于把立方體相間的四個(gè)頂點(diǎn)連接起來就構(gòu)成了正四面體，所以， 正四面體所有對(duì)稱素和對(duì)稱操作包含于立方體中 。由于 正四面體沒有對(duì)稱中心 ，立方對(duì)稱的三條 4次軸 100和對(duì)稱中心退化為 四次旋轉(zhuǎn)反演軸 【 6個(gè)非純轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng) π/2或 3π/2）加上 3個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng) （轉(zhuǎn)動(dòng) π） 】 。同理，四條 3次軸 111和對(duì)稱中心退化為 三次旋轉(zhuǎn)反演軸 （等價(jià)于 8個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng) ），六條 2次軸110和對(duì)稱中心退化為 二次旋轉(zhuǎn)反演軸 （ 6個(gè)非純轉(zhuǎn)動(dòng)），加上 不動(dòng) ，共 24個(gè)對(duì)稱操作。它保留了立方體的 12個(gè)純旋轉(zhuǎn)操作 和 12個(gè)非純旋轉(zhuǎn)操作 。 4. 宏觀對(duì)稱操作和物理性質(zhì) 對(duì)于一個(gè)具體的晶體材料，如果知道了它的點(diǎn)對(duì)稱性，那么它的某種物理性質(zhì)就可以確定，這稱為 Neumann原理 。 (1). 一個(gè)晶體如果具有 鏡像反映對(duì)稱性 ,則該對(duì)稱操作變矢量左旋為右旋 ,因而該晶體 無旋光性 ； (2). 一個(gè)晶體如果具有 中