【正文】 中心反演 (inversion through a point)和 鏡面反映 (Reflection across a plane)是晶體中的三種 基本的點對稱操作 。相應的 對稱元素 有 :對稱軸、對稱中心、對稱面 。 一個晶體的 對稱操作愈多 ,就表明它的 對稱性愈高 . 但是 ,由于 晶體的宏觀對稱性 是受到 微觀周期性 的 制約和影響 ,所以 ,晶體的宏觀對稱元素不是任意的 . 對于 旋轉(zhuǎn)對稱操作 (rotational symmetry operation)來說，由于 晶體周期性的限制 ，轉(zhuǎn)角 θ只能是 2π/n， n= 4和 6。 晶體只能具有 有限個數(shù) 的宏觀對稱操作或?qū)ΨQ元素，對稱元素的 組合也是一定的 ，這稱為晶體的 宏觀對稱性破缺 如果一個晶體 繞某軸旋轉(zhuǎn) 2π/n及其倍數(shù)不變 ，稱 該軸為 n次（或 n度）旋轉(zhuǎn)軸 。 晶體中允許的轉(zhuǎn)動對稱軸只能是 4和 6次軸，稱為 晶體的對稱性定律 晶體的對稱性定律的證明 如果 繞 A轉(zhuǎn) ?角 ,晶格保持不變 (對稱操作 ).則該操作將使 B 格點轉(zhuǎn)到 位置 ,則由于轉(zhuǎn)動對稱操作不改變格子 ,在 處必定原來就有一個格點。 B?B?因為 B 和 A 完全等價 ,所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞 B 進行 . 如圖 ,A為格點 ,B為離 A最近的格點之一 ,則與 平行的格點之間的距離一定是 的 整數(shù)倍 。 ABAB由此可設(shè)想繞 B 轉(zhuǎn) ?角，這將使 A 格點轉(zhuǎn)到 的位置。同樣 處原來也必定有一個格點 A?A?A BA?B?? ? aaa亦即 ： 2 c o s ( )a a m a??? ? ? 1 2 c o sm ????1 c o s 1?? ? ?而且 ,m必須為整數(shù) ,所以 ,m只能取 1,0,1,2,3 由于 組成等腰梯形 , ABA B??,A B m AB m a?? ??m為整數(shù) A BA?B?? ? aaa因此 與 m=1,0,1,2,3相應的轉(zhuǎn)角為 : 22222 , , , , 1 , 6 , 4 , 3 , 26 4 3 2 n??????? ? ? 通常把晶體中 軸次最高的轉(zhuǎn)動軸 稱作 主對稱軸 ，簡稱 主軸 (但是立方晶系則以 3次軸為主軸 ),其它為 副軸 . 晶體的對稱操作除了 旋轉(zhuǎn)、中心反演和鏡面反映 3種基本對稱操作外，在某些晶體中還存在著 等價于相繼進行兩個基本對稱操作 (乘法 )而得到的獨立對稱操作 ，稱為組合操作 ，從而出現(xiàn) 新的對稱元素 上述操作稱為 非純旋轉(zhuǎn)操作 。 如果一個晶體 先繞某軸旋轉(zhuǎn) 2π/n，再進行 中心反演 后，晶體保持不變，稱該軸為 n次（或 n度） 旋轉(zhuǎn)反演軸 ，記為 。 n 由于晶體周期性的限制， 旋轉(zhuǎn)反演軸 也必須遵循 晶體的對稱性定律 ，即： 1 , 2 , 3 , 4 , 6n ?旋轉(zhuǎn) 反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素 。 1 2 i?11 2 3 4 5 6 i?? 331 2 m?21?1次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價于對稱中心 i 2次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價于垂直于該軸的對稱鏡面 m 3次旋轉(zhuǎn)反演軸就等價于 3次純旋轉(zhuǎn)軸加上對稱中心 ,記為 1 i?2 m?33 i??A B D C E F G H 只有具有 4次旋轉(zhuǎn)反演軸的晶體 ,既沒有 4次純旋轉(zhuǎn)軸 ,也沒有對稱中心i，但包括一個與 4次旋轉(zhuǎn)反演軸重合的 2次軸 . 6=3+m 1 2 3 4 5 6 639。 1?2?3?4?5?C?A?D?G? F?H? E?B?6次旋轉(zhuǎn)反演軸等價于 3次純旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對稱鏡面 m，記為 63 m??所以 旋轉(zhuǎn)反演軸 中只有 是獨立的對稱素 4旋轉(zhuǎn)反演對稱操作中只有 4度旋轉(zhuǎn)反演 對稱操作是獨立的 晶體中獨立的宏觀對稱操作 (或?qū)ΨQ元素 )只有 8種 , 即： i、 m、 。其中數(shù)字 n( 6)表示 純轉(zhuǎn)動對稱操作 (或轉(zhuǎn)動軸 )； i表示中心反演（或?qū)ΨQ中心）； m表示鏡面反映（或?qū)ΨQ鏡面）。 41 2 3 4 43? 1?4?2? 還有一些其它的組合操作，如 旋轉(zhuǎn) +鏡面反映 ，但不再給出新的對稱元素。 這種表示方法屬于 國際符號 (International notation)標記法，是海爾曼 (Hermann)和毛袞(Mauguin)制訂的，在 晶體結(jié)構(gòu)分析中 經(jīng)常使用。 還有一套標記法，是 固體物理中慣用的標記 ，是熊夫利 (Schoenflies)制訂的，因此稱為 熊夫利符號 (Schoenflies notation). 熊夫利符號中 Cn 表示旋轉(zhuǎn)軸； Sn 表示旋轉(zhuǎn)反演軸； Ci 表示中心反演； Cs 表示鏡面反映。 總之， 晶體的所有點對稱操作 都可由這 8種操作或它們的組合來完成。 晶體中 8種獨立的宏觀對稱元素（或?qū)ΨQ操作）用 熊夫利符號標記 則為 C1， C2， C3， C4， C6 ， Ci，Cs， S4。 例如立方對稱有 三條 4次軸 100，繞每個 4次軸旋轉(zhuǎn) π/ π、 3π/2都是對稱操作，這樣對于三條 4次軸，共有 9個 對稱操作 ；還有 四條 3次軸111（空間對角線），繞每個 3次軸旋轉(zhuǎn) 2π/4π/3都是對稱操作，這樣對于四條 3次軸，共有8個 對稱操作 ；再就是 六條 2次軸 110（面對角線），繞每個 2次軸旋轉(zhuǎn) π都是對稱操作，這樣對于六條 2次軸，共有 6個 對稱操作； 不動 （旋轉(zhuǎn) 2π）本身也是 1個 對稱操作。所以 純旋轉(zhuǎn)操作加起來共 24個 ，由于立方對稱有對稱中心，所以純旋轉(zhuǎn)操作加上中心反演的組合操作，即 非純旋轉(zhuǎn)操作 共 24個 ，合起來 48個 。 由于把立方體相間的四個頂點連接起來就構(gòu)成了正四面體，所以， 正四面體所有對稱素和對稱操作包含于立方體中 。由于 正四面體沒有對稱中心 ，立方對稱的三條 4次軸 100和對稱中心退化為 四次旋轉(zhuǎn)反演軸 【 6個非純轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動 π/2或 3π/2）加上 3個純轉(zhuǎn)動 （轉(zhuǎn)動 π） 】 。同理，四條 3次軸 111和對稱中心退化為 三次旋轉(zhuǎn)反演軸 （等價于 8個純轉(zhuǎn)動 ），六條 2次軸110和對稱中心退化為 二次旋轉(zhuǎn)反演軸 （ 6個非純轉(zhuǎn)動），加上 不動 ，共 24個對稱操作。它保留了立方體的 12個純旋轉(zhuǎn)操作 和 12個非純旋轉(zhuǎn)操作 。 4. 宏觀對稱操作和物理性質(zhì) 對于一個具體的晶體材料，如果知道了它的點對稱性，那么它的某種物理性質(zhì)就可以確定，這稱為 Neumann原理 。 (1). 一個晶體如果具有 鏡像反映對稱性 ,則該對稱操作變矢量左旋為右旋 ,因而該晶體 無旋光性 ； (2). 一個晶體如果具有 中