【正文】 ,則矩陣 A需要轉置 . TAA???二、晶體的微觀對稱性和微觀對稱操作 上面我們主要討論了晶體的宏觀對稱性和宏觀對稱操作。 4. 宏觀對稱操作和物理性質 對于一個具體的晶體材料，如果知道了它的點對稱性，那么它的某種物理性質就可以確定，這稱為 Neumann原理 。 由于把立方體相間的四個頂點連接起來就構成了正四面體，所以， 正四面體所有對稱素和對稱操作包含于立方體中 。 總之， 晶體的所有點對稱操作 都可由這 8種操作或它們的組合來完成。其中數(shù)字 n( 6)表示 純轉動對稱操作 (或轉動軸 )； i表示中心反演（或對稱中心）； m表示鏡面反映（或對稱鏡面）。 如果一個晶體 先繞某軸旋轉 2π/n，再進行 中心反演 后，晶體保持不變，稱該軸為 n次（或 n度） 旋轉反演軸 ，記為 。 晶體中允許的轉動對稱軸只能是 4和 6次軸，稱為 晶體的對稱性定律 晶體的對稱性定律的證明 如果 繞 A轉 ?角 ,晶格保持不變 (對稱操作 ).則該操作將使 B 格點轉到 位置 ,則由于轉動對稱操作不改變格子 ,在 處必定原來就有一個格點。 3. 宏觀對稱操作和宏觀對稱元素 繞固定軸的轉動 (rotation about an axis)、 中心反演 (inversion through a point)和 鏡面反映 (Reflection across a plane)是晶體中的三種 基本的點對稱操作 。因為對稱性越高的系統(tǒng)，需要獨立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來就越簡單，且能大大簡化某些計算工作量 。 我們這里要討論的主要是 晶體（晶格或點陣 )的對稱性 (symmetry of lattice). 一、晶體的宏觀對稱性和宏觀對稱操作 晶體的對稱性 可以從晶體外形的規(guī)則性上反映出來 ,如 sc、 bcc、 fcc結構的立方晶體 ,繞晶胞的任一 基矢軸旋轉 π/2或 π/2的整數(shù)倍 的操作 ,都能使晶體的 外形保持不變 ,這就是 晶體的對稱性 . 操作前后晶體保持自身重合的操作 ,稱為 對稱操作 . 晶體借以進行對稱操作的 軸 、 平面 或 點 .稱為 對稱元素 （簡稱 對稱素 ） . 這種對稱性不僅表現(xiàn)在晶體的幾何外形上 ,而且反映在晶體的宏觀物理性質中 ,稱為 晶體的宏觀對稱性 . 一、晶體的宏觀對稱性和宏觀對稱操作 1. 概念解釋 晶體的宏觀對稱性 就是晶體外形所包圍的 點陣結構的對稱性 . 晶體的宏觀對稱性來源于點陣結構的對稱性，相應的宏觀對稱操作是一種 非平移對稱操作 。相應的 對稱元素 有 :對稱軸、對稱中心、對稱面 。 B?B?因為 B 和 A 完全等價 ,所有旋轉同樣可以繞 B 進行 . 如圖 ,A為格點 ,B為離 A最近的格點之一 ,則與 平行的格點之間的距離一定是 的 整數(shù)倍 。 n 由于晶體周期性的限制， 旋轉反演軸 也必須遵循 晶體的對稱性定律 ，即： 1 , 2 , 3 , 4 , 6n ?旋轉 反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素 。 41 2 3 4 43? 1?4?2? 還有一些其它的組合操作，如 旋轉 +鏡面反映 ，但不再給出新的對稱元素。 晶體中 8種獨立的宏觀對稱元素（或對稱操作）用 熊夫利符號標記 則為 C1， C2， C3， C4， C6 ， Ci，Cs， S4。由于 正四面體沒有對稱中心 ，立方對稱的三條 4次軸 100和對稱中心退化為 四次旋轉反演軸 【 6個非純轉動（轉動 π/2或 3π/2）加上 3個純轉動 （轉動 π） 】 。 (1). 一個晶體如果具有 鏡像反映對稱性 ,則該對稱操作變矢量左旋為右旋 ,因而該晶體 無旋光性 ； (2). 一個晶體如果具有 中心反演對稱性 ，則該對稱操作使矢量改變符號，因而該晶體 無固有偶極矩 。因為不包含平移 ,所以宏觀對稱操作又稱為點對稱操作。對應三種新的對稱元素，即 :平移軸、螺旋軸和滑移面。所以含有平移的對稱操作都是晶體的微觀對稱操作所特有的。 n只能取 6。 4度螺旋軸 MM?滑移反映面 總之 ,平移、螺旋旋轉和滑移反映對稱操作無需憑借一個保持不動的點來完成 ,它們都包含平移操作 ,適用于無限大點陣 .無限大點陣和晶體的微觀結構一致 ,所以上述操作稱為微觀對稱操作 . 三、群和晶體結構的分類 定量研究對稱操作集合的性質要用群論的知識。因此，我們不打算在這里講過多的群論的知識，只是簡單介紹一下群的概念。 2. 點群和七個晶系 晶體中獨立的宏觀對稱操作 (或對稱元素 )只有8種 , 即： i、 m、 。 用熊夫利符號表示的話， 7個晶系隸屬的點群從低到高排序分別是 三斜晶系 屬 Ci(或 S1)群 、 單斜晶系 屬 C2h群 、正交晶系 屬 D2h群 、 三角晶系 屬 D3d群 、 四方晶系 屬 D4h群 、 六角晶系 屬 D6h群 、 立方晶系 屬 Oh群 。 但是 ZnS結構 ,由于基元中兩種原子不同 ,當考慮基元的對稱性時 ,它的對稱性降低 ,屬于 正四面體 Td群 。 ≠β。正交晶系又稱 斜方晶系 (4) 三角晶系 (Trigonal System)： a＝ b＝ c,α＝ β＝ γ≠90176。三角晶系又稱 三方晶系 。四方晶系又稱 正方晶系 或 四角晶系 。 D6h群，具有一條 6次軸、六條與 6次軸垂直的 2次軸和 i，所以有 24個群元素 。 Oh群，具有三條 4次軸、四條 3次軸、六條 2次軸和 i，所以有 48個群元素 ： 090abc ? ? ?? ? ? ? ?： 009 0 1 2 0abc ? ? ?? ? ? ? ? ? ： 009 0 1 2 0a b c ? ? ?? ? ? ? ? ： 090abc ? ? ?? ? ? ? ? 090a b c ? ? ?? ? ? ? ?090abc ? ? ?? ? ? ? ? ： ： abc ? ? ?? ? ? ?從幾何結構劃分 7個晶系 ? ?? 1()aa3()ac2()ab 14種布拉維格子 嚴格的群理論證明，如果 忽略基元的對稱性 ，也就是僅僅從點陣角度來說，僅僅存在 14種不同的空間群，稱為 14種布拉維格子。 點對稱操作 加上 平移操作 構成 空間群 。加體心 記為 I（體心格子） 。在 c和 b形成的底面加心 記為底心A. 加心后 7大晶系構成 14種布拉維格子 ： ??? ???? ,cba??? ?????090： ： 00 1 2 090 ????????cba簡單三斜 (1) 簡單單斜 (2) 底心單斜 (3) 三角 (4) ： 090????????cba簡單正交 (5)，底心正交 (6)體心正交 (7)，面心正交 (8) ： (正方晶系 ) 090??? ??