晶體的對(duì)稱性和分類(已修改)
2025-05-11 12:01 本頁(yè)面
【正文】 第三節(jié) 晶體的對(duì)稱性和分類 本節(jié)主要內(nèi)容 : 一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作 二、晶體的微觀對(duì)稱性和微觀對(duì)稱操作 三、群和晶體結(jié)構(gòu)的分類 物體的性質(zhì)在不同方向或位置上有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為 對(duì)稱性 對(duì)稱性的 本質(zhì)是 指系統(tǒng)中的 一些要素是等價(jià)的 ，它可使復(fù)雜物理現(xiàn)象的描述變得簡(jiǎn)單、明了。因?yàn)閷?duì)稱性越高的系統(tǒng)，需要獨(dú)立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來(lái)就越簡(jiǎn)單，且能大大簡(jiǎn)化某些計(jì)算工作量 。 我們這里要討論的主要是 晶體（晶格或點(diǎn)陣 )的對(duì)稱性 (symmetry of lattice). 一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作 晶體的對(duì)稱性 可以從晶體外形的規(guī)則性上反映出來(lái) ,如 sc、 bcc、 fcc結(jié)構(gòu)的立方晶體 ,繞晶胞的任一 基矢軸旋轉(zhuǎn) π/2或 π/2的整數(shù)倍 的操作 ,都能使晶體的 外形保持不變 ,這就是 晶體的對(duì)稱性 . 操作前后晶體保持自身重合的操作 ,稱為 對(duì)稱操作 . 晶體借以進(jìn)行對(duì)稱操作的 軸 、 平面 或 點(diǎn) .稱為 對(duì)稱元素 （簡(jiǎn)稱 對(duì)稱素 ） . 這種對(duì)稱性不僅表現(xiàn)在晶體的幾何外形上 ,而且反映在晶體的宏觀物理性質(zhì)中 ,稱為 晶體的宏觀對(duì)稱性 . 一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作 1. 概念解釋 晶體的宏觀對(duì)稱性 就是晶體外形所包圍的 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性 . 晶體的宏觀對(duì)稱性來(lái)源于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，相應(yīng)的宏觀對(duì)稱操作是一種 非平移對(duì)稱操作 。 晶體結(jié)構(gòu)可以用布拉維格子或布拉維點(diǎn)陣來(lái)描述 ,這樣以來(lái) ,晶體變?yōu)闊o(wú)限大的空間點(diǎn)陣 .從而 ,晶體具有了平移對(duì)稱性 ,借助于點(diǎn)陣平移矢量 ,晶格能夠完全復(fù)位 .我們把考慮平移后的對(duì)稱性稱為晶體的 微觀對(duì)稱性 . 由于晶體的宏觀對(duì)稱操作不包含平移 ,所以宏觀對(duì)稱操作時(shí) ,晶體至少保持有一個(gè)點(diǎn)不動(dòng) ,相應(yīng)的對(duì)稱操作又稱為 點(diǎn)對(duì)稱操作 . 2. 對(duì)稱操作的變換矩陣 從數(shù)學(xué)角度來(lái)看 ,晶體的點(diǎn)對(duì)稱操作實(shí)質(zhì)上是對(duì)晶體進(jìn)行一定的 幾何變換 ,它使得晶體中的某一點(diǎn) / / / /( , , ) ( , , ) ( , , )r x y z r x y z A r x y z?? 寫(xiě)成 矩陣形式 ，則有 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aaaxxxyzz ayyz????????????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ??????? ??? ?1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aaaxxxyzz ayyz????????????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ??????? ??? ?其中： A為變換矩陣 ,由于點(diǎn)對(duì)稱操作 不改變兩點(diǎn)間的距離 ,所以易證 A是一個(gè) 正交矩陣 .亦即滿足 xryz???????????xryz???????????????1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aA a a aa a a?????????TA A E?兩點(diǎn)間的距離不變 ,即 2 2 2 2 2 2x y z x y z? ? ?? ? ? ? ?//TTr r r r?// ( ) ( )TT TTTr r r r A r A r rAAr? ? ? ?用矩陣表示即 / / / /( , , ) ( , , )r x y z A r x y z?得證 . 以上證明顯示 ,如果晶體在某 正交變換 下不變 ,就稱這個(gè) 正交變換 是晶體的一個(gè) 點(diǎn)對(duì)稱操作 . （ 1）繞某一軸的旋轉(zhuǎn) (rotation about an axis) c o s s ins in c o sxxy y zz y z?????? ??? ???? ? ???三維晶體的點(diǎn)對(duì)稱操作通?？偪梢员硎緸槔@某一軸的旋轉(zhuǎn)、對(duì)某中心的反演和它們的組合 . 點(diǎn)對(duì)稱操作對(duì)應(yīng)的變換矩陣 A的具體形式 比如：繞 x軸的旋轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)角為 θ，則有： 1 0 00 c o s sin0 sin c o sxxyyzz?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?同理可得繞 y軸和繞 z軸的變換矩陣 1 0 00 c o s sin0 sin c o sxA ??????????????1A ?所以， 繞 x軸旋轉(zhuǎn)的 變換矩陣為 ： c o s 0 sin0 1 0sin 0 c o syA??????????????c o s sin 0sin c o s 00 0 1zA??????????????且矩陣行列式 均為： （ 2）中心反演 (inversion through a point) xxyyzz? ???? ????? ? ???1 0 00 1 00 0 1A?????? ? ??? ???1A ?? 如果 ,晶體有對(duì)稱中心 ,則中心反演也是對(duì)稱操作 . 對(duì)原點(diǎn)的反演使得 (x, y, z) → ( x, y, z)，即 ： 1 0 00 1 00 0 1xxyyzz? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?(3) 鏡面反映 (Reflection across a plane) 一個(gè)鏡面反映對(duì)稱操作 (symmetry operation of mirror image)意味著將點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)于某一個(gè)面進(jìn)行反射 ,點(diǎn)陣保持不變 .這表明 一系列格點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這個(gè)反射面的位置是等價(jià)的 ,點(diǎn)陣具有鏡面反射對(duì)稱性 .如 以 xy面為鏡面 ，則 (x, y, z) →(x, y, z)。用矩陣形式表示，則有 xxyyzz???? ???? ????1 0 00 1 00 0 1A???????????1A? ? ?1 0 00 1 00 0 1xxyyzz?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng)變換是 純轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)， 矩陣的行列式 等于 +1；當(dāng)是 空間反演 或 鏡面反射 時(shí)等于 1. 前一種對(duì)應(yīng)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，另一種不能靠物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 3. 宏觀對(duì)稱操作和宏觀對(duì)稱元素 繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) (rotation about an axis)、
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