屆一輪復(fù)習課件立體幾何6-空間空間向量及其運算-展示頁
2025-05-08 05:53本頁面
【正文】 O P O A A B?? ? ?O P m O A n O B? ? ?( 1 )mn??判斷三點共線 ,或兩直線平行 ,p a b p xa y b? ? ?共 面( , )ab 不 共 線P, A, B, C四點 共面 A P x A B y A C? ? ?O P O A x A B y A C? ? ? ?O P x O A y O B z O C? ? ? ?( 1 )x y z? ? ?(A, B, C三點不共線 ) 判斷四點共面 ,或直線平行于平面 三、 空間向量的運算 ： ： ??? c o s|||| baba ????： ????? A O BbOBaOA 則, ??共起點與 ba ??： 90 ab? ? ? ? ?： ?c o s|| b?.方向上的投影在叫做 ab ??： 數(shù)量積 等于 的長度 與 在 ab? a ||a ba的方向上的投影 的乘積 . | | c o sb ?： ( 1 )( 2 ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( )a b b aa b a b a ba b c a c b c? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? : ( , )ab設(shè) 是 兩 個 非 零 向 量( 1 ) 0 。| | | |abab? ???( 4 ) | | | | | |a b a b??≤(判斷兩個向量是否垂直 ) (求向量的長度 (模 )的依據(jù) ) (求兩個向量的夾角 ) (向量不等式 ) . 設(shè) , 則1 2 3 1 2 3( , , ) , ( , , )a a a a b b b b??1 1 2 2 3 3( 1 ) ( , , ) 。a b a b a b a b? ? ? ? ?1 2 3( 3 ) ( , , ) ( R ) 。a b a b a b a b? ? ? ?1 1 2 2 3 3( 5 ) / / , , ( R ) 。a a a a a a? ? ? ? ?1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3( 8) c o s , 。( , ) , 。((,2),2))AA x y B x yA B x x y yC x y A Bxxxyyx y yyBx??? ? ????????????若則是 的 中 點 , 則1 1 1 2 2 2( , , ) , ( , , )a x y z b x y z??空 間 向 量 的 坐 標 運 算 ：1 2 1 21 1 11 2 1 2 2121( , , ) ,b ( , , ) 。.a x yaxzRa b x x y y z zx y y z z? ? ? ? ?? ? ??????????????????????????????????222),(,)()()()。 b ＝ | a || b |c os 〈 a ， b 〉，或 c os 〈 a ， b 〉＝a b ＝ 0 ，用于證明兩個向量的垂 直關(guān)系； ( 3) | a |2＝ a b ＝ 0 ，若 a ＝ ( x1， y1， z1) ， b ＝ ( x2，y2， z2) ，則轉(zhuǎn)化為計算 x1x2＋ y1y2＋ z1z2＝ 0 ； ( 3) 在立體幾何中求線段的長度問題時，轉(zhuǎn)化為 a b| a || b |即可． 題型一 空間向量的線性運算 例 1 如圖所示，在平行六面體 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，設(shè) AA 1→＝ a ， AB→＝ b ， AD→＝ c ， M ， N ， P 分 別是 AA 1 ， BC ， C 1 D 1 的中點，試用 a ， b ， c 表 示以下各向量： ( 1) AP→； ( 2) A 1 N→； ( 3) MP→＋ NC 1→. 解 ( 1) ∵ P 是 C 1 D 1 的中點， ∴ AP→＝ AA 1→＋ A 1 D 1→＋ D 1 P→＝ a ＋ AD→＋12D 1 C 1→ ＝ a ＋ c ＋12AB→＝ a ＋ c ＋12b . ( 2) ∵ N 是 BC 的中點， ∴ A 1 N→＝ A 1 A→＋ AB→＋ BN→＝－ a ＋ b ＋12BC→ ＝－ a ＋ b ＋12AD→＝－ a ＋ b ＋12c . ( 3) ∵ M 是 AA 1 的中點， ∴ MP→＝ MA→＋ AP→＝12A 1 A→＋ AP→ ＝－12a ＋??????a ＋ c ＋12b ＝12a ＋12b ＋ c ， 又 NC 1→＝ NC→＋ CC 1→＝12BC→＋ AA 1→ ＝12AD→＋ AA 1→＝12c ＋ a ， ∴ MP→＋ NC 1→＝??????12a ＋12b ＋ c ＋??????a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32
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