隱函數(shù)存在定理ppt課件-展示頁
2025-05-08 03:21本頁面
【正文】 的方程組 在什么條件下可以確定 是 的函數(shù) 并且 關(guān)于 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) . ?????0),(,0),(vuyxGvuyxFvu, yx,),(),( yxvvyxuu ??vu, yx, 定理 3 設(shè)函數(shù) 和 滿足 : (i) 在點 的某鄰域 內(nèi) , 和 對各變元有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 。0),( )0()0()0(2)0(1 ?yxxxF n?.0),( )0()0()0(2)0(1 ?yxxxF ny ? (1) 存在 的一個鄰域 使得在點 的某鄰域內(nèi) , 方程 唯一地確定一個定義 在 的 元隱函數(shù) 滿足 換句話說 , 存在函數(shù) ),( )0()0(2)0(10 nxxxQ ? ),( 0QU),( )0()0()0(2)0(10 yxxxP n?0),( 21 ?yxxxF n?)( 0QU n ),( 21 nxxxfy ??).,( )0()0(2)0(1)0( nxxxfy ??),(),(),( 02121 QUxxxxxxfy nn ?? ??使得當 時 , 有 且 (2) 在 內(nèi)連續(xù) 。( 00 xfy ?)( xfy ? ),( 00 ?? ?? xx)( xfy ? ),( 00 ?? ?? xx.),( ),()( yxF yxFxfyx??? 注 1. 一方面 , 定理 1中的條件僅是存在隱 函數(shù)的充分條件 , 而非必要條件 . 例如 , 方程 顯然 但仍能確定唯一隱函數(shù) 另一方面 , 定理 1中的條件又是非常重要的 . 例如 , (雙紐線 ), 在 同樣不滿足條件 (iii), 而在該點無論 ,0),( 3 ??? xyyxF,0)0,0( ?yF .31xy ?0)(),( 22222 ????? yxyxyxF)0,0(多小的鄰域內(nèi)都不存在唯一的隱函數(shù) (見圖 ). 注 2. 必須注意 , 定理 1是一個局部性的隱 函數(shù)存在定理 . 例如 , 從雙紐線圖形可以看 出 , 除了 三點以外 , 曲線上其 余各點處都存在局部隱函數(shù) (這不 難用定理 1加以檢驗 ). )0,1(),0,1(),0,0( ?)( xfy ? 注 3. 在方程 中 , 與 的地位是 平等的 . 當條件 (iii)改為 時 , 將在 點 的局部由方程 確定唯一 的隱函數(shù) 定理 1相應(yīng)的全部結(jié)論均 成立 . 例 1 方程 能否在原點的某 鄰域內(nèi)確定隱函數(shù) 或 0),( ?yxF x y0),( 00 ?yxF x),( 000 yxP 0),( ?yxF),( ygx ?xyexy ?? s inco s)( xfy ? ?)( ygx ?多元隱函數(shù)存在定理 定理 2 設(shè) 滿足下列條件 : (i) 偏導(dǎo)數(shù) 和 在 上連續(xù) , 其
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