專題四第二講：空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系-展示頁
2025-05-05 13:18本頁面
【正文】 P A B ⊥ 平面 A B CD ， 且平面 P AB ∩ 平面 A BCD ＝ AB ， ∴ CB ⊥ 平面 P A B .∵ CB ? 平面 P B C ， ∴ 平面 PBC ⊥ 平面 P A B . 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 ( 3) 解 取 AB 的中點(diǎn) H ，連結(jié) PH . 題型與方法 第二講 由 ( 1) 知，四邊形 A B F D 是平行四邊形． ∴ AB 綊 DF .又 AB ⊥ BC ， ∴ DF ⊥ FC . 在 Rt △ D F C 中， ∠ B CD ＝ π4 ， CF ＝12 BC ＝ 1 ， ∴ DF ＝ 1 ， ∴ AB ＝ 1. ∴ 直角梯形 A B CD 的面積 S ＝12 ( AD ＋ BC ) AB ＝12 (1 ＋ 2) 1 ＝32 . 在正三角形 P A B 中， H 為 AB 的中點(diǎn)， 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 ∴ PH ⊥ AB ，且 PH ＝ 32 AB ＝ 32 . 題型與方法 第二講 又 ∵ 平面 P AB ⊥ 平面 AB CD ， 平面 P A B ∩ 平面 A B CD ＝ AB ， ∴ PH ⊥ 平面 A B CD . ∴ 四棱錐 P — AB C D 的體積 V ＝ 13 S 直角梯形 A B C D PH ＝ 13 32 32 ＝ 34 . 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 方法提煉 利用幾何的綜合方法解決立體幾何問題時(shí)，往往要作一些輔助線或者是輔助平面，作圖時(shí)不能憑借直觀，而要有根據(jù)，其中有兩條線極為重要：一是找中點(diǎn)連輔助線，出現(xiàn)平行線；二是要找兩個(gè)平面垂直 ，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，出現(xiàn)線面垂直 . 題型與方法 第二講 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 變式訓(xùn)練 2 如圖所示，在四棱錐 P — A B C D 中， △ P A B 為正三角形，且面 P A B ⊥ 面 A B C D ，四邊形 A B C D 是直角梯形，且 AD ∥ BC ， ∠ B C D ＝π4， AD ＝ 1 ， BC ＝ 2 ， E 為棱 PC 的中點(diǎn)． ( 1 ) 求證： DE ∥ 平面 P A B ； ( 2 ) 求證：平面 P A B ⊥ 平面 P B C ； ( 3 ) 求四棱錐 P — A B C D 的體積． 題型與方法 第二講 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 證明 ( 1) 連接 AC ，則 F 是 AC 的中點(diǎn)， E 為 PC 的中點(diǎn) , 題型與方法 第二講 故在 △ CP A 中， EF ∥ PA ， 又 ∵ PA ? 平面 P A D ， EF ? 平面 P A D ， ∴ EF ∥ 平面 P A D . 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 ( 2) ∵ 平面 P AD ⊥ 平面 ABCD ，平面 P AD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， 題型與方法 第二講 又 ∵ 底面 AB CD 是正方形， ∴ CD ⊥ AD ， ∴ CD ⊥ 平面 P AD ， ∴ CD ⊥ PA . 又 PA ＝ PD ＝ 22 AD ， ∴△ P A D 是等腰直角三角形，且 ∠ APD ＝ π2 ， 即 PA ⊥ PD . 又 ∵ CD ∩ PD ＝ D ， ∴ PA ⊥ 平面 P CD . 又 ∵ PA ? 平面 P A B ， ∴ 平面 P A B ⊥ 平面 P CD . 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 題型三 空間線面關(guān)系的綜合問題 題型概述 線面關(guān)系的綜合問題包括空間位置 關(guān)系的證明和一些幾何量的計(jì)算，是高考解答題的基本題型、計(jì)算幾何量的基本思想也是轉(zhuǎn)化，將空間角的計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面角，空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離 ( 或利用等積法 ) . 題型與方法 第二講 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 例 3 如圖所示，在四棱錐 P — ABCD 中，側(cè)面 P A D ⊥ 底面 A B C D ，側(cè)棱 PA ＝ PD ＝ 2 ，底面 A B C D 為直角梯形，其中 BC ∥ AD ，AB ⊥ AD ， AD ＝ 2 AB ＝ 2 BC ＝ 2 ， O 為 AD 的中點(diǎn) . (1) 求證： PO ⊥ 平面 A B C D ； (2) 求異面直線 PB 與 CD 所成角的正切值； (3) 線段 AD 上是 否存在點(diǎn) Q ，使得它到平面 PC D 的距離為32？若存在，求出AD的值；若不存在，請說明理由 . 題型與方法 第二講 本講欄目開關(guān) 考點(diǎn)與考題 小題沖關(guān) 題型與方法 ( 1 ) 證明 在 △ P AD 中， PA ＝ PD ， O 為 AD 的中點(diǎn)， ( 2) 解 如圖所示，連接 BO ，在直角梯形 AB CD 中， BC ∥ AD ， AD ＝2 AB ＝ 2 BC ＝ 2 ，有 OD ∥ BC ，且 OD ＝ BC ， 題型與方法 第二講 所以 PO ⊥ AD . 又側(cè)面 P AD ⊥ 底面 AB CD ， 平面 P A D ∩ 平面 A B CD ＝ AD ， PO
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