高考數(shù)學(xué)高考必會(huì)題型專題8概率和統(tǒng)計(jì)第36練概率的兩類模型-展示頁
2025-04-26 13:06本頁面
【正文】 _．破題切入點(diǎn) 由幾何概型的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求解．答案 解析 設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x、y，x、y相互獨(dú)立，由題意可知，如圖所示．∴兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過2秒的概率為P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.題型三 古典概型與幾何概型的綜合問題例3 已知關(guān)于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R. (1)若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有實(shí)數(shù)根的概率．破題切入點(diǎn) 本題中含有兩個(gè)參數(shù)，顯然要將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次方程有解的條件問題．第(1)問利用列舉法將基本事件羅列出來，再結(jié)合題意求解．第(2)問將a，b滿足的不等式轉(zhuǎn)化為可行域——平面區(qū)域問題，從而利用幾何概型的概率公式求解．解 設(shè)事件A為“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；事件B為“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有實(shí)數(shù)根”．(1)由題意，知基本事件共9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－3640，得a2＋b24.事件A要求a，b滿足條件a2＋b24，可知包含6個(gè)基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，所以方程有兩個(gè)不相同實(shí)根的概率P(A)＝＝.(2)由題意，方程有實(shí)根的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，故所求概率為：P(B)＝＝1－.總結(jié)提高 (1)求解古典概型問題的三個(gè)步驟①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求事件A.②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.③利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．若直接求解比較困難，
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