(新)整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定理及求解方法-展示頁
2025-04-16 04:11本頁面
【正文】 職稱： 張洪剛 2012年 9月 1日摘 要：整系數(shù)多項(xiàng)式在多項(xiàng)式的研究中占有重要的地位，其應(yīng)用價(jià)值也越來越被人們所認(rèn)識(shí)。 學(xué)號(hào)： 劉玉麗 0934118 年級(jí) amp。密 級(jí)：無吉林師范大學(xué)博達(dá)學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的定理及求解方法 系別 amp。 專業(yè)： 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 姓名 amp。 班別： 2009級(jí)1班 教師 amp。本文是關(guān)于整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求解的一個(gè)綜述，希望能夠給對(duì)整系數(shù)多項(xiàng)式感興趣的朋友提供一定的參考。求解整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根時(shí)，首先要判定整系數(shù)多項(xiàng)式是否存在有理根。為了簡(jiǎn)化求解過程，可以先運(yùn)用本文中的相關(guān)定理，將可能的有理根的范圍盡量縮小，然后再用綜合除法進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)而求出整系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根。定義1[1]如果一個(gè)多項(xiàng)式，其所有系數(shù)都是整數(shù)，就稱此多項(xiàng)式為整系數(shù)多項(xiàng)式。 下面的重要結(jié)果，稱為高斯引理，是研究整系數(shù)多項(xiàng)式的基礎(chǔ)。證明 設(shè)是兩個(gè)本原多項(xiàng)式，而，也就是說，的系數(shù)有一異于的公因子，即.同樣地，也是本原的，令是第一個(gè)不能被整除的系數(shù)，即我們來看的系數(shù)，由乘積定義由上面的假設(shè)，整除等式左端的， 如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積. 設(shè)，是整系數(shù)多項(xiàng)式，=，其中是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么一定是整系數(shù)的.第二章 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的重要定理 在高等代數(shù)中，關(guān)于整系數(shù)有理根的問題，有如下定理：[1]設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,而是的一個(gè)有理根,其中r,s互素,，如果的首項(xiàng)系數(shù)，那么的有理根都是整根，而且是的因子。將代入上式得, ： 若是一個(gè)次數(shù)大于的整系數(shù)多項(xiàng)式,如果是的一個(gè)有理根,其中是互素的整數(shù),那么 若為整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根,則為常數(shù)項(xiàng)的約數(shù),且對(duì)于.證明：因?yàn)閝是整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根,所以,其中是整系數(shù)多項(xiàng)式.,則有.又,故,所以.當(dāng)時(shí), .因?yàn)槭浅?shù)項(xiàng),故為常數(shù)項(xiàng)的約數(shù),所以. 若整系數(shù)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為奇數(shù),而為偶數(shù),則不
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