【正文】 76。－25176?！唷螦BC＝∠ACB＝65176?！螧AC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，∴∠OAB＝∠OAC＝25176?！郆O＝CO。．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是　 ▲ ?。敬鸢浮?0176。通過(guò)構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的?！郌G=。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30176。∴AE=AB=4。∴點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)。（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，∴ON⊥BC。∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG）。∴∠EFG=∠EGF?！郋G⊥DF（等腰三角形三線合一）。∴GD=GF（等角對(duì)等邊）。 （2）EG與DF的位置關(guān)系是EG⊥DF。 ∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE。（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。 ∴當(dāng)n≥2時(shí)?！唷鰽ME的面積=△AMB的面積。【分析】連接BE，∵在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM。例3.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當(dāng)AB=1時(shí)，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時(shí)，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時(shí)，△AME的面積記為S3；…；當(dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積記為Sn．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ ?。敬鸢浮?。且∵AC≠BD，∴四邊形EFGH鄰邊不相等。又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900?！痉治觥咳鐖D，連接AC，BD。典型例題：例1.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，【 】A. B. C. D.例2.（2012江蘇宿遷3分）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。在幾何題的證明或求解時(shí)，需要構(gòu)成一些基本圖形來(lái)求證（解）時(shí)往往要通過(guò)添加輔助線（圖）來(lái)形成，添加輔助線（圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。還要作個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。四邊形 平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。線段垂直平分線，常向兩端把線連。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。輔助線，如何添？把握定理和概念。幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分復(fù)雜，若通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問(wèn)題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過(guò)對(duì)新圖形的分析，原問(wèn)題順利獲解。有許多初中幾何常見(jiàn)輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線加垂線，三線合一試試看。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。梯形里面作高線，平移一腰試試看。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。直接證明有困難，等量代換少麻煩。圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結(jié)果―――（1）構(gòu)造基本圖形；（2）構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4）構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形；（6）構(gòu)造特殊四邊形；（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法―――（8）基本輔助線；（9）截取和延長(zhǎng)變換；（10）對(duì)稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉(zhuǎn)變換。一、構(gòu)造基本圖形：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后面把它們單獨(dú)表述?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，矩形的判定。 ∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴根據(jù)三角形中位線定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF?！嗨倪呅蜤FGH是矩形?！嗨倪呅蜤FGH不可能是菱形?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整式的混合運(yùn)算?！唷鰽ME與△AMB同底等高?！喈?dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積為，當(dāng)AB=n－1時(shí)，△AME的面積為。例4.（2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BC邊上，且∠GDF=∠ADF?！敬鸢浮拷猓海?）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。理由如下： ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，∴∠GDF=∠BFE（等量代換）。 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。例5.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴EF=EG=AG。又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形?！唿c(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，∴ON是梯形ABCE的中位線。（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30176。∴。二、構(gòu)造等腰（邊）三角形：當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50176。連接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線?！摺螧AC＝50176。∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50176?！唷螼BC＝65176。＝40176?！唿c(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。2＝50176。DC=EF．（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD．【答案】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60176?！唷螦BC=∠EFB。∵DC=EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形。∵BF=EF，∠EFB=60176?！郋B=EF，∠EBF=60176?！摺鰽BC是等邊三角形，∴∠ACB=60176。∴∠EBF=∠ACB?！郃E=AD。CE，求證四邊形ABFC是矩形． 【答案】解：（1）證明：連接BD?！郃C=BF，∠ACB=∠CBF。∴四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）∵DE2＝BE∵∠DEB=∠DEC=90176。∴∠CDE=∠DBE，∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90176。三、構(gòu)造直角三角形：通過(guò)構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達(dá)到求證（解）的目的。角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長(zhǎng)是 ▲ ．【答案】或a。作△ABC的高AD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F?！咴赗t△ABD中，∠ABD=45176?！郆C=BD+CD=a。∴FC=DC=a，EF=AD=a。在Rt△BEF中，由勾股定理，得。作△ABC的高AD?！咴赗t△ABD中，∠ABD=45176。∴BC= BD=a?！郆E=AD=a。例2. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰4，則 的值為【 】A．2 B．4 C． D．【答案】D。∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。∴AM=AN?！逜M=CM，∴四邊形AMCN是菱形。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。在Rt△CGN中，在Rt△MNG中，