【正文】 目的是考查學(xué)生閱讀理解能力，證明過程中邏輯推理的嚴(yán)密性。證明：在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2 ∴△ABE≌△ACE（第一步） ∴AB＝AC，∠3＝∠4（第二步） ∴AP⊥BC（等腰三角形三線合一）上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步的推理依據(jù)；若不正確，請指出關(guān)鍵錯在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程。分析：采用截長補短法，延長AC至 E，使AE＝AB，連結(jié)DE；也可在AB上截取AE＝AC，再證明EB＝CD（證明略）。分析：作AF⊥CD的延長線（證明略）評注：尋求全等的條件，在證明兩條線段（或兩個角）相等時，若它們所在的兩個三角形不全等，就必須添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，常見輔助線有：①連結(jié)某兩個已知點；②過已知點作某已知直線的平行線；③延長某已知線段到某個點，或與已知直線相交；④作一角等于已知角。精典例題：【例1】如圖，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。二、選擇題：CBCBCB三、解答題：6種（8；10；10；12；112）可以，設(shè)延伸部分為，則長為，的三條線段中，最長， ∵ ∴只要，長為，的三條線段可以組成三角形 設(shè)長為的線段所對的角為，則為△ABC的最大角 又由 當(dāng)，即時，△ABC為直角三角形。 二、選擇題：若△ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10，則這樣的三角形共有（ ）A、6個 B、7個 C、8個 D、9個在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A的度數(shù)為（ ）A、300 B、360 C、450 D、720等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩部分，則此三角形底邊之長為（ ）A、7 B、11 C、7或11 D、不能確定在△ABC中，∠B＝500，AB＞AC，則∠A的取值范圍是（ ）A、00＜∠A＜1800 B、00＜∠A＜800C、500＜∠A＜1300 D、800＜∠A＜1300若、是三角形的三個內(nèi)角，而，那么、中，銳角的個數(shù)的錯誤判斷是（ ） A、可能沒有銳角 B、可能有一個銳角C、可能有兩個銳角 D、最多一個銳角如果三角形的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍，那么這個三角形一定是（ ） A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、正三角形三、解答題：有5根木條，其長度分別為4，8，8，10，12，用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形？長為2，3，5的線段，分別延伸相同長度的線段后，能否組成三角形？若能，它能構(gòu)成直角三角形嗎？為什么？如圖，在△ABC中，∠A＝960，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于，∠BC與∠CD的平分線相交于，依此類推，∠BC與∠CD的平分線相交于，則∠的大小是多少？如圖，已知OA＝，P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運動），∠AON＝600，填空：（1）當(dāng)OP＝ 時，△AOP為等邊三角形；（2）當(dāng)OP＝ 時，△AOP為直角三角形；（3）當(dāng)OP滿足 時，△AOP為銳角三角形；（4）當(dāng)OP滿足 時，△AOP為鈍角三角形。在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于點O，則∠BOC＝ 。如圖，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周長為28 cm，則DB＝ 。如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB邊上的高，則與∠A相等的角是 。在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），則∠C＝ 度。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：三角形的三邊為1，9，則的取值范圍是 。略解：在等邊△ABC中，∠B＝∠C＝600 又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D ∴∠BPE＝∠CPD＝300 不妨設(shè)等邊△ABC的邊長為1，BE＝，CD＝，那么：BP＝，PC＝，而AE＝，AD＝ ∴AE＋AD＝ 又∵BE＋CD＋BC＝ ∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD 從而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE 即△AED的周長等于四邊形EBCD的周長?！締栴}二】如圖，已知P是等邊△ABC的BC邊上任意一點，過P點分別作AB、AC的垂線PE、PD，垂足為E、D。（1）點P是△ABC內(nèi)任一點，求證：∠P＞∠A；（2）試判斷在△ABC外，又和點A在直線的同側(cè)，是否存在一點Q，使∠BQC＞∠A，并證明你的結(jié)論。分析：用三角形內(nèi)角和定理和外角定理，等腰三角形性質(zhì)，求出∠D＋∠E的度數(shù)，即可求得∠DAE的度數(shù)。答案：B變式與思考：在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是（ ）A、1＜AB＜29 B、4＜AB＜24 C、5＜AB＜19 D、9＜AB＜19評注：在解三角形的有關(guān)中線問題時，如果不能直接求解，則常將中線延長一倍，借助全等三角形知識求解，這也是一種常見的作輔助線的方法。應(yīng)用方程知識求解幾何題是這部分知識常用的方法。知識考點：理解三角形三邊的關(guān)系及三角形的主要線段（中線、高線、角平分線）和三角形的內(nèi)角和定理。關(guān)鍵是正確理解有關(guān)概念，學(xué)會概念和定理的運用。精典例題：【例1】已知一個三角形中兩條邊的長分別是、且，那么這個三角形的周長的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、分析：涉及構(gòu)成三角形三邊關(guān)系問題時，一定要同時考慮第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和?！纠?】如圖，已知△ABC中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延長BC至E，使CE＝AC，延長CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度數(shù)。略解：∵AB＝DB，AC＝CE ∴∠D＝∠ABC，∠E＝∠ACB ∴∠D＋∠E＝（∠ABC＋∠ACB）＝530 ∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，已知點A在直線外，點B、C在直線上。 分析與結(jié)論：（1）連結(jié)AP，易證明∠P＞∠A；（2）存在，怎樣的角與∠A相等呢？利用同弧上的圓周角相等，可考慮構(gòu)造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所對且頂點在弧AB，和弧AC上的圓周角都與∠A相等，因此點Q應(yīng)在弓形AB和AC內(nèi)，利用圓的有關(guān)性質(zhì)易證明（證明略）。問：△AED的周長與四邊形EBCD的周長之間的關(guān)系？分析與結(jié)論：（1）DE是△AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明AD＋AE＝BE＋BC＋CD（2）既有等邊三角形的條件，就有600的角可以利用；又有垂線，可造成含300角的直角三角形，故本題可借助特殊三角形的邊角關(guān)系來證明。 評注：本題若不認(rèn)真分析三角形的邊角關(guān)系，而想走“全等三角形”的道路是很難奏效的。已知三角形兩邊的長分別為1和2，如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為 。如果△ABC的一個外角等于1500，且∠B＝∠C，則∠A＝ 。如圖，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，那么∠BDC＝ 。紙片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)（如圖），若∠1＝200，則∠2的度數(shù)為 。若△ABC的三邊分別為、要使整式，則整數(shù)應(yīng)為 。 一、填空題：1；2；1200；300或1200；∠DCB；500；8cm；600；1300；偶數(shù)。30（1）；（2）或；（3）＜OP＜；（4）0＜OP＜或OP＞知識考點：掌握用三角形全等的判定定理來解決有關(guān)的證明和計算問題，靈活運用三角形全等的三個判定定理來證明三角形全等。求證：CE＝CD。 【例2】如圖，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD。探索與創(chuàng)新：【問題一】閱讀下題：如圖，P是△ABC中BC邊上一點，E是AP上的一點，若EB＝EC，∠1＝∠2，求證：AP⊥BC。略解：不正確，錯在第一步。閱讀理解題是近幾年各地都有的新題型，應(yīng)引起重視。解：設(shè)有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形，方案（1）：若這個角的對邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個三角形全等。方案（3）：若此角為已知兩邊的夾角，則這兩個三角形全等。如方案（4）：若此角為鈍角，則這兩個三角形全等。能有效考查學(xué)生對三角形全等概念的掌握情況，這類題目要求學(xué)生依據(jù)問題提供的題設(shè)條件，尋找多種途徑解決問題。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：若△ABC≌△EFG，且∠B＝600，∠FGE－∠E＝560，則∠A＝ 度。如圖，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，則點D到AB的距離是 。如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O，寫出一組相等的線段 （不包括AB＝CD和AD＝BC）。給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。二、選擇題：如圖，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A、△ADF≌△AEG B、△ABE≌△ACDC、△BMF≌△CNG D、△ADC≌△ABE 如圖，AE＝AF，AB＝AC，EC與BF交于點O，∠A＝600，∠B＝250，則∠EOB的度數(shù)為（ ） A、600 B、700 C、750 D、850如果兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角（ ） A、相等 B、不相等 C、互余 D、互補或相等 如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設(shè)PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，則與的大小關(guān)系是（ ） A、＞ B、＜C、＝ D、無法確定三、解答題：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。 如圖，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，點F是CD的中點。（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝1000，求證：△ABC≌△DEF；（2）上問中，若將條件改為AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝700，結(jié)論是否還成立，為什么？如圖，已知∠MON的邊OM上有兩點A、B，邊ON上有兩點C、D，且AB＝CD，P為∠MON的平分線上一點。（2）△ABP與△PCD的面積是否相等？請說明理由。（1）根據(jù)所給條件，指出△ACE和△BDF具有什么關(guān)系？請你對結(jié)論予以證明。參考答案一、填空題：32；3；15；AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；①②③二、選擇題：BBDA三、解答題：略；（1）略；（2）AF⊥BE，AF平分BE等；（1）略；（2）不成立，舉一反例即能說明；（1）不一定全等，因△ABP與△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和邊都有可能不相等，故兩三角形不一定全等。（1）△ACE和△BDF的對應(yīng)角相等；（2）略、勾股定理、面積知識考點：了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形的邊角關(guān)系，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。精典例題：【例1】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，則AB＝？分析：通過作輔助線，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，其關(guān)鍵是對內(nèi)分割還是向外補形。分析：本題不能簡單地由角的關(guān)系推出∠ACB的度數(shù)，而應(yīng)綜合運用條件PC＝2PB及∠APC＝600來構(gòu)造出含300角的直角三角形。答案：∠ACB＝750（提示：過C作CQ⊥AP于Q，連結(jié)BQ，則AQ＝BQ＝CQ）探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝300，點A處有一所中學(xué)，AP＝160米，假設(shè)汽車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么汽車在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲的影響？如果受影響，已知汽車的速度為18千米／小時，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？分析：從學(xué)校（A點）距離公路（MN）的最近距離（AD＝80米）入手，在距