三重積分、重積分習(xí)題-展示頁(yè)
2025-04-02 05:45本頁(yè)面
【正文】 球面坐標(biāo)的．（3）還應(yīng)注意面積元在不同坐標(biāo)下的不同形式；并且在直角坐標(biāo)系中，更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)學(xué)會(huì)使用對(duì)稱性、奇偶性、切片法、換元法、投影面方程的求法等；2．計(jì)算三重積分，其中是由曲面x+y+z=1及z=所圍成的區(qū)域．分析 為球面和圓錐面所圍成的區(qū)域．故從積分區(qū)域的特點(diǎn)看，它適宜用球面坐標(biāo)．同時(shí)，被積函數(shù)中含有因式x+y+z，故從積分區(qū)域與被積函數(shù)兩方面來看，應(yīng)選用球面坐標(biāo)．解 在球面坐標(biāo)下，球面x+y+z=1的方程為r=1，錐面z=的方程為tan=，即，又z軸的正向穿過故的下界為零，因此0．將投影到xoy面，由方程組 消去z得x+y=．因此0．該錐體的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，故r下界為零，由穿線法可知r故0r1.于是===2．小結(jié) 當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橛汕蛎媾c錐角所圍成的球錐體時(shí)．若錐題的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，且 Z軸正向穿過積分區(qū)域，則有0，且r的下界為零，上界由球面的方程所給出．3．計(jì)算其中是由xoy平面上的曲線=2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x=5所圍成的閉區(qū)域分析：投影區(qū)域?yàn)閳A域，再由于積分區(qū)域與球體無關(guān)，故采用柱面坐標(biāo)，這時(shí)要注意把y,z用極坐標(biāo)代換．還應(yīng)注意積分區(qū)域關(guān)于平面y=0,z=0皆對(duì)稱，且被積函數(shù)關(guān)于y,z皆為偶函數(shù)．因此還應(yīng)利用積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性與被積函數(shù)關(guān)于某相應(yīng)變量的奇偶性先進(jìn)行化簡(jiǎn)．解 曲線=2x或x=繞x軸旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為x=(),故由拋物面x=()與z=0所圍成．由于被積函數(shù)分別是y和z的偶函數(shù)，而積分區(qū)域關(guān)于平面y=0及z=0都對(duì)稱，因此=4，其中為在第一卦限內(nèi)的部分由知，在y
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