【正文】 ? 數(shù)學(xué)描述的發(fā)展，表示要求 ? 參數(shù)化表示的優(yōu)點(diǎn) ? 插值與擬合 ? 連續(xù)性條件 ? 三次樣條曲線 /曲面 ? Bezier曲線 /曲面 ? B樣條曲線 /曲面 ? NURBS曲線 參數(shù)曲線基礎(chǔ) 自由曲線 一 .概述 曲線 ：規(guī)則曲線 ——可用曲線方程式表示的曲線。這類曲線也稱之為自由曲線。 y = y(t) 參變量的規(guī)范化 曲線的繪制方法 ：用很多短直線段來(lái)逼近曲線。 曲線曲面的表示形式 ? 顯式表示 z = f (x, y) ?隱式表示 f (x, y, z) = 0 ?參數(shù)表示 x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (x, y) ?常用生成方法： – 插值 ——生成的曲線經(jīng)過(guò)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) ，如：多項(xiàng)式插值（常見(jiàn)三次多項(xiàng)式）、樣條函數(shù)插值， Hermite曲線等； – 逼近 ——生成的曲線 靠近每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（不一定通過(guò)每個(gè)點(diǎn)），如： Bezier曲線， B樣條曲線 ． 擬合 — 插值和逼近 ? 型值點(diǎn) ——指通過(guò)測(cè)量或計(jì)算得到的曲線或曲面上 少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn) 。 ? 插值和逼近 曲線曲面設(shè)計(jì)中的兩種不同方法 。 逼近設(shè)計(jì)方法建立的曲線曲面數(shù)學(xué)模型只是近似地接近已知的型值點(diǎn) 。 插值與擬合 插值 擬合 ? – Example control points. – Joining the control points gives the control polygon. P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 插值與擬合 ? 插值 – Interpolating (through the control points). 擬合 Approximating (near the control points). P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 通過(guò)移動(dòng)控制點(diǎn)形成不同的曲線 ? Edit curves by moving control points (click and drag): – Original curve. – Curve after P2 is moved. 實(shí)現(xiàn)交互控制，生成曲線 : ? 畫控制點(diǎn)； ? 看看曲線的生成結(jié)果； ? 調(diào)整控制點(diǎn)直到最佳 。 ? 滿足要求： ? 惟一性 ? 幾何不變性 ? 易于定界 ? 統(tǒng)一性 ? 易于光滑連接 ? 幾何直觀 惟一性 ? 形狀定義 ? 由已給定的有限信息，決定的形狀是惟一的。 ? 如果采用的數(shù)學(xué)方法不具有幾何不變性，則不同測(cè)量坐標(biāo)系測(cè)得的同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，會(huì)得到不同的擬合曲線。 ? 可用：參數(shù)方程表示 統(tǒng)一性 ? 能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況（包括特殊情況），如曲線描述，用統(tǒng)一的形式表平面曲線、空間曲線。 易于光滑連接 ? 單一的曲線段或曲面片難以表達(dá)復(fù)雜的形狀，需要將若干線段連接成為光滑曲線（曲面片連接為組合曲面）。 幾何直觀 ? 幾何意義明顯 ? 有一空間點(diǎn) A， 從原點(diǎn) O到 A點(diǎn)的連線表示一個(gè)矢量 ， 此矢量稱為位置矢量 。它的參數(shù)方程為： ????????)(),()(uzzuyyuxx],[ 0 nuuu ?)](),(),([)( uzuyuxuCC ??規(guī)范化區(qū)間 若 t的區(qū)間： [a,b]， 如果把它轉(zhuǎn)換為 [0,1] ，如何做？ 方法（相似性，比例不變）： （ 例：區(qū)間 [5， 8]， 通過(guò)仿射變換到區(qū)間 [0,1]） 解： t’=(ta)/(ba) , 則 t’ ? [0,1] 參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn) 1)有更大的自由度控制曲線曲面的形狀； 2)可對(duì)參數(shù)曲線曲面的方程直接進(jìn)行幾何變換 ，而不需要對(duì)曲線曲面的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行幾何變換； 3) 可以處理斜率無(wú)窮大的情況； 4)代數(shù) 、 幾何相關(guān)和無(wú)關(guān)的變量是完全分離的 ，對(duì)變量個(gè)數(shù)不限 ， 便于將低維空間中的曲線曲面擴(kuò)展到高維空間中 ； 5)便于采用規(guī)格化的參數(shù)變量 如：區(qū)間 [a,b] （ 如區(qū)間 [5， 8]） 可由區(qū)間 [0,1]通過(guò)仿射變換得到 。 ? 參數(shù)連續(xù)性 – 用 C 階數(shù) 表示 ? 幾何連續(xù)性 – 用 G 階數(shù) 表示 兩曲線段的連接 ? Examples: – These two curves do not fit together at all. – These two curves fit together, but not smoothly. – These two curves fit together smoothly. 曲線段間的連續(xù)性定義 ? 參數(shù)連續(xù)性 : – C0連續(xù) （ 0階參數(shù)連續(xù) ） ——前一段曲線的終點(diǎn)與后一段曲線的起點(diǎn)相同 。 – C2連續(xù) （ 二階參數(shù)連續(xù) ） ——連接點(diǎn)處 一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 相同 。 – G1連續(xù) （ 一階幾何連續(xù) ） ——一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點(diǎn)成比例 ， （ 切向量不一定相等 ） 。 參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性的區(qū)別 ? 參數(shù)連續(xù)性 – 傳統(tǒng)意義上的、嚴(yán)格的連續(xù) ? 幾何連續(xù)性 – 只需限定兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例，不必完成相等，是一種更直觀、易于交互控制的連續(xù)性。 – 通過(guò)線段交點(diǎn)處，設(shè)置邊界條件求出。 x(t)= y(t)= z(t)= t的取值范圍： [0， 1] 三次樣條曲線與調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)） 三次樣條曲線推導(dǎo) ? 簡(jiǎn)化為： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （ 式一） p’(t)= （ 寫出 ） p0= , p1= , p’0= , p’1 = 。 （ 式二） 將式二代入式一，解得： D = p0 C= p’0 B=3p0 +3 p1 2 p’0 p’1 A= 2 p0 2 p1 + p’0 +p’1 將 A、 B、 C、 D分別代入式一中 ,整理得 : p(t)=(2t33t2+1) p0+ (2t3+3t2) p1+ (t32t2+t) p’0+ (t3t2) p’1 F1(t) F2(t) F3(t) F4(t) (t ?[0， 1] ) 調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)） —開(kāi)始出現(xiàn)于從代數(shù)形式到幾何形式的推導(dǎo)中。 p(t)= Pk H0(t)+ Pk+1 H1(t)+ Rk H2(t)+ Rk +1 H3(t) p(0)= Pk p(1)= Pk+1 p 180。(1)= Rk+1 三次 Hermite樣條曲線 （插值方法） Hermite樣條曲線調(diào)和函數(shù) ? H0(t)=2t33t2+1 ? H1(t)=2t3+3t2 ? H2(t)=t32t2+t ? H3(t)=t3t2 起點(diǎn)坐標(biāo) 終點(diǎn)坐標(biāo) 起點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 終點(diǎn)導(dǎo)數(shù) p(t)= Pk H0(t)+ Pk+1 H1(t)+ Rk H2(t)+ Rk +1 H3(t) Pk = p(0) Pk+1 = p(1) Rk = p 180。(1) 可以看作：是矢量 Pk 、 Pk+1 、 Rk 、 Rk +1 的加權(quán)和。 Bezier曲線 ? 1． Bezier曲線的定義 ? 在給定空間ｎ＋１個(gè)點(diǎn)Ｐ 0,Ｐ 1,? Ｐ n， 稱下列參數(shù)曲線為ｎ次的 Bezier曲線 ? 其中 ， 是 Bernstein基函數(shù) ， 即 10)()(0, ?????uuBPuCninii)(, uB ni)!(!!)1()(, ininCuuCuB ininiinni ?????? 一般稱折線 Ｐ 0,Ｐ 1,? Ｐ n為 C(u)的控制多邊形 ；Ｐ 0,Ｐ 1,? Ｐ n各點(diǎn)為 C(u)的 控制頂點(diǎn) 。 ? 圖 Bezier曲線 Bernstein基函數(shù)具有下列性質(zhì)： 1） 非負(fù)性 ： 對(duì)于所有的 i,n以及 均有 成立； 2） 規(guī)范性 ： 3) 對(duì)稱性 10 ?? u0, ?niB10,1)(0, ?????nini uuBniuBuB ninni , .. . ,1,0),1()( , ??? ?4)遞推性 5)端點(diǎn)性 niuBuuBuuB ninini , .. .,1,0),()()1()( 1,11, ???? ?????? ??e l seiBni ,00,1)0(,??? ??e l seniBni ,0,1)1(,6)最大性 在 處達(dá)到最大值； 7)可導(dǎo)性 8)升階公式 )(, uB ni niu /?niuBuBnuB ninini , . .. ,1,0) ] ,()([)( 1,1,1, ???? ???)()11()()1( 1, uBn iuBu nini ?????)(11)( 1,1, uBniuuB nini ?????9)分割性 10)積分性 )(11)()11()( 1,11, uBniuBn iuB ninini ??? ?????????njnjjini uBcBcuB0, )()()(? ??10 , 11)( nduuB ni常用 Bezier曲線的矩陣表示 由 Bezier曲線 C(u)的定義 ， 可推出常用的一次 、二次 、 三次 Bezier曲線矩陣表示 一次 、 二次 、 三次 Bezier曲線 ： 10)1()( uPPuuC ???22102 )1(2)1()( PuPuuPuuC ?????33221203 )1(3)1(3)1()( PuPuuPuuPuuC ???????10)()(0, ?????uuBPuCninii ? 一次 Bezier 曲線 （寫出 一次 Bezier曲線的展開(kāi)參數(shù)方程 ） 矩陣表示為 這是一條從 到 的直線段 圖 一次 Bezier 曲線 ??????????????100111]1,[)(PPuuC0P 1P? 2）二次 Bezier曲線 （寫出 二次 Bezier曲線的展開(kāi)參數(shù)方程 ，是一條拋物線 ） ? 矩陣表示為 ? ? 圖 二次 Bezier 曲線 22102 )1(2)1()( PuPuuPuuC ????????????????????????????2102001022121]1[)(PPPuuuC? 3）三次 Bezier曲線 （寫出 三次 Bezier曲線的展開(kāi)參數(shù)方程 ） ? 矩陣表示為： 33221203 )1(3)1(3)1()( PuPuuPuuPuuC ????????????????????????????????????3210230001003303631331]1[)(PPPPuuuuC ? 圖 三次