【正文】 若 N=奇，則只要計(jì)算 前（ N+1） /2點(diǎn) 的 DFT即可。 若 xop(n)=x*op(Nn), 0≤n≤N 1 則稱 xop(n)為 共軛反對(duì)稱序列 如圖所示。 離散傅立葉變換的基本性質(zhì) X1(k) = DFT［ x1(n)］ X2(k) = DFT［ x2(n)］ 一、 線性性質(zhì) 其各自的離散付里葉變換分別為 : )()()]()([ 2121 kbXkaXnbxnaxD F T ???式中， a, b為任意常數(shù)。 MN， 將原序列裁為 N點(diǎn)計(jì)算 N點(diǎn)的 DFT； MN， 將原序列補(bǔ)零至 N點(diǎn) ， 然后計(jì)算 N點(diǎn) DFT。 M是序列 x的長(zhǎng)度。 2jkNkze??0( ) | ( ) ( )j n jnjwzeX z x n e X e???????? ?( ) ( )j j nnX e x n e??? ????? ?j Im ( z )o2?NW1?NW0NWk ＝ 0)2( ?? NNW)3( ?? NNWR e [ z ]??oX (e j ? )X ( k )因此 ， DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為 NeXeXkXNjkkNj N??????2)()()( 2????即 : X(K)也是 在 w=2πk/N處的采樣值 。 解 由 DFT的定義式 11120( ) c o s 6 nknnX k W??? ? 利用復(fù)正弦序列的正交特性式，再考慮到 k的取值區(qū)間，可得 ????????]11,0[,011,16)(kkkkX其他21166 12012nnjj j n kne e e?? ?? ???????????221 1 1 1( 1 ) ( 1 )1 2 1 20012j n k j n knnee??? ? ? ?????????????圖 310 有限長(zhǎng)序列及其 DFT 0 1 2 11x ( n )n 0 1X ( k )11 nN=16 N=12,Nfft=16 為什么？ 設(shè) x(n)為一 長(zhǎng)度為 N的離散序列，其 Z變換、 DFT和 DTFT分別為： 10211000( ) [ ( ) ] ( )( ) [ ( ) ] ( ) ( )( ) ( )NnnNNj k nknNNnnj j nnX z Z T x n x n zX k D F T x n x n e x n WX e x n e????????????????? ? ??????2jkNkze??2102( ) | ( ) ( )N j k nNnjkNkkzeX z x n e X k??? ??????則： 若令 DFT與序列傅里葉變換、 Z變換的關(guān)系 表示 Z平面單位圓上幅角為 的點(diǎn) 2 kN?? ? 對(duì)序列的 Z變換在單位圓上取值，可得到該序列的傅立葉變換 FT， 即 ：若令 Z=ejw 則可得 所以有限長(zhǎng)序列 x(n)在 Z平面單位圓上的 Z變換是該序列x(n)的傅立葉變換 ，也即將 Z平面單位圓 N等分后的第 k點(diǎn) ,如圖所示。 這是一個(gè)很特殊的例子 ， 它表明對(duì)序列 δ(n)來說 ， 不論對(duì)它進(jìn)行多少點(diǎn)的 DFT， 所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列 。離散傅里葉變換 (DFT) 及其快速算法 DFT的定義 DFT的主要性質(zhì) 頻域采樣 快速傅里葉變換（ FFT） FFT應(yīng)用 圖 41 各種形式的傅里葉變換 xa( t )－ ? ? txp( t )ootTpx ( n T )oN 點(diǎn)xp( n )oN 點(diǎn)nTn( a )( b )( c )( d )|Xa( j ? ) |1－ ?0o?0?|Xp( j k ?? ) |ok ?－ ? ?|X ( ej ?? ) |?1 / T|X ( ej k ?? ) |s?oo－ ? ?N 點(diǎn)?sT 換 幾種形式的傅里葉變換 時(shí)間函數(shù) 頻率函數(shù) 連續(xù)、非周期 非周期、連續(xù) 連續(xù)、周期 非周期、離散 離散、非周期 周期、連續(xù) 離散、周期 周期、離散 四種傅里葉變換形式的歸納 離散 周期延拓 連續(xù) 非周期 求有限長(zhǎng)序列 x(n)的 DFT的實(shí)質(zhì)是 : 將有限長(zhǎng)序列 x(n)作周期延拓 x((n))N, 求其 DFS, 取其主值序列 ,即可得 X（ K） 2102101010( ) [ ( ) ] ( ) , = ( ) k = 0 , 1 , , N 1 1( ) [ ( ) ] ( )1( ) 0 , 1 , , 1j k nNNknNnNj k nNnNknNkNkX k D F T x n x n Wx n ex n I D F T X k X k WNX k e n NN????????????????? ? ????? 離散傅里葉變換的定義 2Nj NWe ???其 中DFT的引出 : 周期化 求 DFS 取主值序列 DFT 例 : 已知序列 x(n)=δ(n)， 求它的 N點(diǎn) DFT。 解 單位脈沖序列的 DFT很容易由 DFT的定義式得到： ??????100 1)()(NnNnkN WWnkX ? k=0, 1, …, N1 δ(n)的 X(k)如圖所示 。 序列 δ(n)及其離散傅里葉變換 10 n? ? ( n ) X ( k )10 1 2 N － 1…k 例 35 已知 x(n)=cos(nπ/6)R12(n)是一個(gè)長(zhǎng)度 N=12的有限長(zhǎng)序列 ， 求它的 N點(diǎn) DFT 。所以 x(n)的DFT X(K)等于它的 Z變換 X(Z)在 Z平面單位圓上 N個(gè)等分點(diǎn)上的采樣值。如圖所示 ( ) ( )j j nnX e x n e??? ????? ?X(k)與 X(e jω)的關(guān)系 ( 1 ) / 2 s in ( / 2 )()s in / 2j j N NX e e?? ?????38si n( )2( ) ,si n( )80 , 1 , , 7jkkX k ekk?????? ???316si n( )4( ) ,si n( )160 , 1 , , 15jkkX k ekk?????? ???DFT DFT矩陣表示 DFT矩陣形式為 其中 DFT IDFT矩陣形式為 dftmtx(N) 函數(shù)產(chǎn)生 N N的 DFT矩陣 DN conj(dftmtx(N))/N 函數(shù)產(chǎn)生 N N的 IDFT矩陣 DN1 DFT 利用 MATLAB計(jì)算 DFT fft(x) fft(x,N) ifft(x) ifft(x,N) fft(x) 計(jì)算 M點(diǎn)的 DFT。 fft(x,N) 計(jì)算 N點(diǎn)的 DFT。 設(shè) : x1(n)和 x2(n)是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度均為 N。 則 : 二、 圓周移位性質(zhì) 其過程為 : 1. 序列的圓周移位 x(n)的圓周移位定義為 y(n)=x((n+m))N RN(n) 1)、將 x(n)以 N為周期進(jìn)行周期延拓得 x((n))N 2)、將 x((n))N左移 m位，得 x((n+m))N 3)、取其主值序列 x((n+m))N RN(n) 循環(huán)移位過程如圖所示 循環(huán)移位過程 ( e )x ( n )2 1n ＝ 0N － 1N － 2on ＝ 0N － 1N － 221n ＝ 0N － 2N － 1( f )( g )2 10x ( n )n0 n)(~nxNnxnx ))2(()2(~???0 n)())2(( nRnxNN?0 N － 1 n( a )( b )( c )( d )N － 1N － 1N － 1y(n)=x((n+m))N RN(n) 2. 時(shí)域 圓周 移位定理 NND F Tx ( n ) ( )x ( ( n + m ) ) R ( n ) ( )D F T kmNXkW X k?? ???? ???若則 ：3. 頻域循環(huán)移位定理 ( ) ( ( ) ) ( )lnN N NW x n X k l R k? ?? ??DFTy(n)也是一個(gè)長(zhǎng)度為 N的序列 ,記為 : 11201210( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )[ ( ) ( ( ) ) ] ( )NNNmNNNmy n x m x n m R no r x m x n m R n?????????12( ) ( ) ( )y n x n x n??三、 圓周卷積定理 圓周卷積的定義 時(shí)域循環(huán)卷積定理 11221 2 1 2( ) ( ) 0 `1( ) ( ) 0 `1( ) ( ) ( ) ( )D F TD F TD F Tx n X K n Nx n X K k Nx n x n X K X K? ??? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ???若則 ： 頻域循環(huán)卷積定理 1 2 2 11( ) ( ) ( ) ( )D F Tx n x n X k X kN? ??? ?當(dāng) N為偶數(shù)時(shí)， 將上式中的 n換成 N/2n可得到 ( ) ( ) , 0 12 2 2( ) ( ) , 0 12 2 2e p e pop opN N Nx n x n nN N Nx n x n n??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?四、 DFT的共軛對(duì)稱性 1. 圓周共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列 設(shè) xep(n)、 xop(n) 均為有限長(zhǎng)序列 若 xep(n)=x*ep(Nn), 0≤n≤N 1 則稱 xep(n)為 圓周共軛對(duì)稱序列 。 圖中 *表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)為序列取共軛后的值。 所以 X1(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(Nk)］ X2(k)=DFT［ x2(n)］ =j1/2［ X(k)X*(Nk)］ 設(shè) x1(n)和 x2(n)為兩個(gè) N點(diǎn)的實(shí)序列 ,構(gòu)成新序列 x(n): x(n)= x1(n)+ jx2(n) 對(duì) x(n)進(jìn)行 DFT X(k)=DFT［ x(n)］ =Xep(k)+Xop(k) Xep(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(Nk) Xop(k)=DFT［ jx2(n)］ =1/2［ X(k)X*(Nk) ］ 例： 已知一 9點(diǎn)實(shí)序列的 DFT在偶數(shù)點(diǎn)的值為 X[0]=, X[2]=+, X[4]=+, X[6]=+, X[8]=。 解： X[1]=X*[91]= X*[8]= +。 X[7]=X*[97]= X*[2]= 。 選頻性 設(shè)有復(fù)序列 x(n): 0≤n≤N1 其離散付里葉變換為 其中 q為整數(shù)。 對(duì) X（ Z）在單位圓上等間隔采樣 N點(diǎn)，則得： ~~