【正文】 √ 干涉 ， 衍射 這兩者是不相容的 。第一章 波函數(shù)與Schrodinger方程 本章所講的主要內(nèi)容 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋 () Schrodinger方程 () 量子態(tài)疊加原理 () 既然輻射和粒子都具有波動(dòng)性和微粒性，那 么，如何理解這兩屬性呢？經(jīng)典物理的觀念 是無(wú)法回答的，必須被修改。 主要表現(xiàn)： 波－粒兩象性 （ 粒子 ） （波） （ Planck假設(shè) ） Einstein關(guān)系 Ep?? Eh ????一、 實(shí)物粒子的波動(dòng)性 167。 描述微觀粒子既不能 用經(jīng)典粒子 ， 也不能用經(jīng)典波 ， 當(dāng)然也不能用 經(jīng) 典粒子 和 經(jīng)典波 來(lái)描述 。 如圖 a所示。為了避免咔噠聲過(guò)分密集，不好計(jì)數(shù)，我們可以把電子槍的加熱電流減弱，以減少電子的流強(qiáng)。每次只有單個(gè)電子通過(guò)儀器。 所有的咔噠聲都一樣強(qiáng)，從來(lái)不會(huì)發(fā)生兩個(gè)或兩個(gè)以上的檢測(cè)器同時(shí)發(fā)出哪怕是較弱的咔噠聲。 現(xiàn)在先把縫 2遮住，只允許電子從縫 1通過(guò)。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)據(jù)積累，可得到如圖 b所示的電子沿 x方向的數(shù)密度分布曲線 ?1(x) 。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)據(jù)積累，可得到如圖 c所示的電子數(shù)密度分布曲線 ?12(x) ， 得到的強(qiáng)度分布 I12(x) (見(jiàn)該圖 c)，具有明顯的干涉效應(yīng)特征。 遮住縫 l，打開(kāi)縫 2，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，又可得到如圖 b所示的數(shù)密度分布曲線?2(x) 。 ?1??2?2112 ??? ??12? 當(dāng)實(shí)驗(yàn)使電子從 確定的狹縫 通過(guò)時(shí) ,電子表現(xiàn)得象粒子。 如果說(shuō)電子是“粒子”，我們能否說(shuō)：每個(gè)電子不是通過(guò)縫 1，就是通過(guò)縫 2，兩者必居其一。為什么檢測(cè)器接受的總是整個(gè)的電子，從未發(fā)現(xiàn)半個(gè) ? 怎樣理解電子在上述雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中的這種行為 ? 如果說(shuō)電子是“波”，但實(shí)驗(yàn)測(cè)得的是一個(gè)一個(gè)的電子。該實(shí)驗(yàn)還表明 ,如果確定粒子從哪條路通過(guò)，那么就無(wú)干涉效應(yīng) ,即 退相干 ,如果實(shí)驗(yàn)不確定粒子從哪條路通過(guò) ,那么就出現(xiàn)干涉效應(yīng)。這樣，穿過(guò)該縫的電子必定同時(shí)散射光子。 總之，要設(shè)計(jì)出一種儀器，它既能判斷電子通過(guò)哪條縫又不干擾干涉圖樣的出現(xiàn)，是絕對(duì)做不到的。我們無(wú)法用我們的經(jīng)典觀念來(lái)解釋電子是怎樣通過(guò)雙縫而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的，我們只好說(shuō) 當(dāng)實(shí)驗(yàn)確定電子是從哪條縫穿過(guò)時(shí)，這個(gè)對(duì)電子位置的測(cè)量過(guò)程實(shí)際上已經(jīng)干擾了電子原來(lái)的狀態(tài)，使得電子由原來(lái)的具有波粒二象性的狀態(tài)突變到僅具有粒子性的狀態(tài)，因而沒(méi)有干涉現(xiàn)象發(fā)生。 有關(guān)哪條路檢測(cè)器如何退相干的實(shí)驗(yàn)，近來(lái)有很大的進(jìn)展 。 三、 電子雙縫實(shí)驗(yàn) 干涉圖樣的 Born幾率詮釋 電子通過(guò)雙縫后的 數(shù)密度分布呈現(xiàn)干涉圖樣反映了電子的波粒二象性 , 從而我們可得到物質(zhì)波的 Born幾率詮釋。 后障上某點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 干涉花樣強(qiáng)度 正比于 電子 出現(xiàn)在該點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 幾率 電子 物質(zhì)波在點(diǎn) x鄰域內(nèi)的 強(qiáng)度 電子 物質(zhì)波在點(diǎn) x鄰域內(nèi)的強(qiáng)度 正比于 電子 出現(xiàn)在該鄰域內(nèi)的 幾率 實(shí)物粒子物質(zhì)波在空間任一位置附近的強(qiáng)度 正比于粒 子 出現(xiàn)在該位置附近的 幾率。即 物質(zhì)波的 Born幾率詮釋 : 物質(zhì)波是幾率波 這就是說(shuō) 根據(jù)物質(zhì)波的這個(gè)幾率詮釋 , 粒子的波動(dòng)性體現(xiàn)在與粒子出現(xiàn)在空間各點(diǎn)的幾率相聯(lián)系的波的波動(dòng)性上。在非相對(duì)論情況下 ,物質(zhì)波的幾率詮釋正確地把實(shí)物粒子的波動(dòng)性與粒子性統(tǒng)一起來(lái) , 經(jīng)歷了無(wú)數(shù)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn) (如，散射粒子的角分布觀測(cè)結(jié)果 ) 。它是粒子位置坐標(biāo)和時(shí)間的復(fù)值函數(shù)，是不可測(cè)量的。 可測(cè)的量一般應(yīng)是實(shí)數(shù)，故描述物質(zhì)波的量不能取實(shí)數(shù)！ 假定 一個(gè)微觀粒子的物質(zhì)波總可以用一個(gè)函數(shù) ( , )rt?象位矢作為時(shí)間的函數(shù)包含了經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的全部信息一樣，認(rèn)為波函數(shù)完全描寫了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 自由粒子的波函數(shù) : 具有確定能量 E和動(dòng)量 (平面單色波 )時(shí) : p?3 / 2 ( ) /( , ) ( 2 ) i p r E tr t e?? ???經(jīng)典平面單色波波動(dòng)式為 ) c o s ( trkA ??? ?? i ( )k r tAe ???由 de Broglie物質(zhì)波假設(shè) , E p k???可假定 （應(yīng)取實(shí)部） 一維情形 : ( ) /1 / 2( , ) ( 2 )xi p x E tx t e?? ???mpE22??非相對(duì)論情形 2 ﹑ 波函數(shù)的幾率詮釋 物質(zhì)波的波強(qiáng)應(yīng)正比于波函數(shù)的模的平方 ),(),(|),(| *2 trtrtr ??? ???? 由物質(zhì)波的幾率詮釋就可知 , 2|),(| tr?? 應(yīng)描寫了粒子出現(xiàn)在空間各點(diǎn)的 幾率分布 （或幾率密度） , 即 2| ( , ) |r t x y z? ? ? ?點(diǎn)處的體積元 ?x?y?z中 r?表示 在 t時(shí)刻在空間中 粒子出現(xiàn)的幾率 。 它是量子力學(xué)的基本原理之一。故波函數(shù)在其變量變化的全部區(qū)域內(nèi)通常應(yīng)滿足三個(gè)條件： 平方可積性 （ 有限性） 、 連續(xù)性 和 單值性 。當(dāng)然，這是就一般情況而言的，在具體的問(wèn)題中，還應(yīng)根據(jù)實(shí)際的物理情況，有具體的要求。 ?注意 :體積元表示為下列四種形式均可 dr 3dr d? dV在直角坐標(biāo)系中 : d d x d y d z? ?在柱坐標(biāo)系中 : d r d r d d z???在球坐標(biāo)系中 : 2 s i nd r d r d d? ? ? ??與波函數(shù) 描述的相對(duì)幾率完全相同，換言之， 和 所描述的幾率波是完全相同的。 在這一點(diǎn)上， 幾率波與經(jīng)典波有本質(zhì)上的差別，一個(gè)經(jīng)典波的波幅增加一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)的能量為原來(lái)的 4倍，因而代表了完全不同的波動(dòng)狀態(tài) 。 例如，在空間點(diǎn) 應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，對(duì)于幾率分布來(lái)說(shuō)，重要的是相對(duì) 幾率分布。 注意： 2( , )rt?與 2( , )rt?表示 意義區(qū)別 ？ 將 ? 換成 ? 的步驟稱為歸一化，使 換成 的常數(shù) C()r? ，如滿足平方可積條件 ? ?稱為 歸一化常數(shù) 。 因此， 歸一化條件相當(dāng)于波函數(shù)的平方可積條件 ， 這實(shí)質(zhì)上是要求 2|| dr???為有限值，如該條件不能 發(fā)散，則歸一化常數(shù) 為零， ( , )rt? 就不能被歸一化。其中 為常數(shù)， 是玻爾半徑。 因此，即使歸一化后，波函數(shù)仍有一 不確定 的相因子 e x p ( )i?為了方面，可取 C為正實(shí)數(shù)，于是歸一化波函數(shù)可寫作 3001( ) e x p ( )rraa????， ? 試對(duì)下列波函數(shù)進(jìn)行歸一化 ? ? ? ?e x p , 0 , 0x i k x a x a k a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?22e x p / , 0x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ?? 多粒子體系的波函數(shù) 以上關(guān)于單粒子波函數(shù)的討論，很容易推廣到 N個(gè)粒子體系的情況，它的波函數(shù)可表為 1( , , , )Nr r t?3311| ( , , , ) |NNr r t d r d r? 表示 t時(shí)刻 1 1 1( , )r r d r?粒子 2出現(xiàn)在 2 2 2( , )r r d r? … … … … … 粒子 N出現(xiàn)在 ( , )N N Nr r d r?粒子 1出現(xiàn)在 中 中 中 的幾率。 ?2?2?注意： ?自由粒子波函數(shù)一般用 平面波函數(shù) 表示即： ? ?? ?? ?1 / 21 e x p /2x ip x???? ?? ?? ?3 / 21 e x p /2r i p r???（一維） （三維） ? ? ? ? ? ?, , , , , ,x y z x y z x y z dx dy dz? ? ?? ? ???其次，在整個(gè)空間找到粒子的幾率之和為 1 例題 1：設(shè)粒子波函數(shù)為 ，求在 范圍內(nèi)找到粒子的幾率（或概率）書 P8 ? ?,x y z? ? ?,x x d x?解：首先波函數(shù)必須歸一化 故在 范圍內(nèi)找到粒子的幾率，應(yīng)該將y， z兩個(gè)變量積分掉，即 ? ?,x x d x?? ?? ? ? ?22, , , ,x y z dy dz dxx y z dy dz dx x y z dx dy dz????? ????? ??????????? ???如果波函數(shù) 是歸一化的，結(jié)果怎樣？ ? ?,x y z?? ?? ?? ?2 / 220 0 0,sin , ,rrd d r r dr??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ?其次，在整個(gè)空間找到粒子的幾率之和為 1 解：首先波函數(shù)必須歸一化 例題 2：設(shè)粒子波函數(shù)為 ，求 （ a）粒子在球殼 中被測(cè)到的幾率； （ b）在 方向的立體角元 中找到粒子的幾率。 s i nd d d????? ?,??? ?? ?? ?2202202 / 220 0 0, , sin, , sinsin , ,r r d r d dr r d r d dd d r r dr??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ?????????????? ? ?五、動(dòng)量波函數(shù)和動(dòng)量分布幾率 當(dāng)粒子的波函數(shù)為 ( , )rt? 時(shí) ,若測(cè)量粒子的位置 , 得結(jié)果是不確定的 ,但測(cè)得粒子在某個(gè)具體位置的幾率是確定的。 則一般來(lái)說(shuō) ,所 若波函數(shù)為波包的電子垂直入射到單晶晶面上，衍射譜應(yīng)該測(cè)得動(dòng)量的幾率分布，即 2( , )pt?在前述電子在晶體表面衍射的實(shí)驗(yàn)中，粒子在晶體表面反射后，得到了的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)。但當(dāng)入射粒子以包含不同動(dòng)量的波包入射到晶體上，粒子的狀態(tài) 可以表示為取各種可能的動(dòng)量值 的平面波的線性疊加 ： p? 粒子經(jīng)過(guò)晶體表面反射后所產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象，就是這許多平面波 p?相互干涉的結(jié)果。 pp 都可以看成是各種不同動(dòng)量 的平面波的疊加。而 (1)式中 ( , )pt?3 / 21( , ) ( , ) e xp [ ]( 2 ) x y zip t r t p r dp dp dp???? ? ????3 / 21( , ) ( , ) e xp[ ]( 2 ) x y zir t p t p r dp dp dp????? ???為 這個(gè)結(jié)論的證明是很簡(jiǎn)單的：事實(shí)上，將 (2)代入 (1)式后給出 (3) (4) (3)和 (4)式說(shuō)明 ( , )rt? 和 ( , )pt? 互為傅立葉 (Fourier)變換式 ，因而在一般情況下總是成立的。 由此可見(jiàn)， ( , )rt? 和 ( , )pt?是 同一狀態(tài)的兩種不同的描述方式 ， 互相等效 。這兩種表示是完全等價(jià)的 . 為自變量， 關(guān)于 表象理論 ，以及關(guān)于上述坐標(biāo)空間和動(dòng)量空間的嚴(yán)格意義，我們?cè)诤竺鎸⒆魃钊胗懻摗? 表示： p(6) (5） 在一維情況下， (3)式和 (4)式寫為 1 / 21 / 21( , ) ( , ) e x p [ ]( 2 )1( , ) ( , ) e x p [ ]( 2 )ix t p t p x d pip t x t p x d x??????????????????(7)