北航工科數(shù)學(xué)分析楊小遠(yuǎn)-第3節(jié)單調(diào)有界定理及其應(yīng)用-展示頁
2025-01-22 12:06本頁面
【正文】 . 單調(diào)有界數(shù)列 ,}{ 有上界遞增不妨設(shè) na用十進(jìn)制數(shù)表示：將各項 na. ,.,.,.321333212232111?????rrrAaqqqAapppAa?????,3,2,1},9,2,1,0{, ,???irqpZAiiii},{ iA考察. }{ }{ 0 并不隨行的增加而改變，達(dá)到最大值在某一行可知有界、遞增，由于ANAa nn. , , , 01101111NNNNxrqp?易見行設(shè)出現(xiàn)在第出現(xiàn)的最大的數(shù)行后本列是在第設(shè)，再考察第二列 ?證明 單調(diào)有界數(shù)列 ? , 第五列第四列對第三列.321 ???? NNN和相應(yīng)的正整數(shù).}{. 4321 的極限就是數(shù)列下證 naxxxxAa ??: . , ,10 .. , ,0 *因此是一樣的位上的數(shù)碼與的整數(shù)部分和前那么對所有的取對amaNntsNmnmm ????? ? ??.10|| ???? ? mn aa..lim 321 ?xxxAa nn ???即得到數(shù) ?, 432 xxx.. 4321 ?xxxxAa ?數(shù)過程一直進(jìn)行下去會得單調(diào)有界數(shù)列 推論 (1)若單調(diào)數(shù)列的一個子列收斂 ,則這個數(shù)列收斂； (2)若單調(diào)數(shù)列的一個子列趨向去窮 ,則此數(shù)列發(fā)散 ； (3)一個單調(diào)數(shù)列要么極限存在 ,要么趨向無窮； (4)單調(diào)數(shù)列收斂的充分必要條件是數(shù)列有界 單調(diào)有界數(shù)列 證明： aaa knkn ???lim單增，且有不妨設(shè)?? ??????? aaKkK kn有,0kK nNnnN ???? ? 由單調(diào)性知，對取 ,1kK nnn aaa ??? 1?? ???????? ? aaaaaa kK nnn 1即(1)若單調(diào)數(shù)列的一個子列收斂 ,則這個數(shù)列收斂； .|| ??? aa n單調(diào)有界數(shù)列 例 1 .)(333的極限存在式重根證明數(shù)列 nx n ???? ?證 ,1 nn xx ??顯然 ? ? 。是有界的nx? .l i m 存在nn x???,31 nn xx ???? ,32 1 nn xx ??? ),3(limlim 2 1 nnnn xx ?? ?????,32 AA ?? 2 131,2 131 ???? AA解得 (舍去 ) .2 131l i m ??? ?? nn x應(yīng)用舉例
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