【正文】 的邏輯關(guān)系是： 12 nB B B B A? ? ? ? ? 3．分析法的思維特點是： 執(zhí)果索因。 三、例題： 例 1 求證 5273 ?? 例 2 證明：當(dāng)周長相等時，圓的面積 比正方形的面積大 . 例 3 已知 a,b,c 是正數(shù)，求證 2 2 2 2 2 2 .b c c a a b abcabc?? ??? 例 4 若 a,b,c 是不全等的正數(shù)，求證 l g l g l g l g l g l g .2 2 2a b b c c a abc? ? ?? ? ? ? ? 例 5 若 a,b,c?R+,求證： 32 ( ) 3 ( ) .23a b a b ca b a b c? ? ?? ? ? 四、作業(yè) ： (1)若 logab 為整數(shù) ,且 logab1loga b logba2,那么下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）。 lga+sin2θ lga+sin2θ bsin2θ =a+b 教學(xué)重點： 三角換元和代數(shù)換元 教學(xué)難點： 三角換元 教學(xué)過程 ： 一、引入： 換元法是 一種基本的數(shù)學(xué)方法，也是證明某些不等式的較常用的方法，用換元法證明不等式主要有三角換元和代數(shù)換元 . 二、講解范例： 例 1 求證： 21121 2 ???? xx 分析 1：原命題等價于 21|1| 2 ?? xx ，用綜合法證明 . 分析 2：用換元法 ， ∵ 11 ??? x ∴令 x = cos? , ??[0, ?] 例 2 已知 x 0 , y 0， 2x + y = 1，求證： 22311 ???yx 分析 1：“乘 1”， 11 ( 2 )xyxy??? ? ?????用綜合法證明 . 分析 2：用換元法 . 由 x 0 , y 0， 2x + y = 1，可設(shè) ???? 22 c os,s in21 yx 例 3 若 122 ??yx ，求證： 2|2| 22 ??? yxyx 提示：設(shè) )10(,c o s,s i n ?????? rryrx ， 例 4 若 x 1， y 1，求證： )1)(1(1 ???? yxxy 提示：設(shè) )2,0(,s e c,s e c 22 ????????? yx 例 5 已知： a 1, b 0 , a ? b = 1，求證： 11110 ????????? ????????? ?? bbaaa 提示：∵ a 1, b 0 , a ? b = 1 ∴不妨設(shè) )20(,tan,s e c 22 ???????? ba 小結(jié) ：若 0≤ x≤ 1，則可令 x = sin? ( 20 ???? )或 x = sin2? ( 22 ?????? )。 若 122 ??yx ，則可令 x = sec?, y = tan? ( ???? 20 )。 若 x?R，則可令 x = tan? ( 22 ?????? )。 教學(xué)重點： 放縮法 教學(xué)難點： 反證法 授課類型： 新授課 教學(xué)過程 ： 一、 引入： 前面我們學(xué)習(xí)了幾種不等式證明的基本方法 .有些不等式的證明直接利用不等式的性質(zhì)、重要不等式或不等式中的解析式進行變換難以得證，需要把不等式中某一邊適當(dāng)“放大”或“縮小”，或者與某個中間量比較，根據(jù)不等式的傳遞性達到證明的目的，這種方法稱為“放縮法” . 反證法是重要數(shù)學(xué)方法之一，也是不等式證明的一種方法 . 下面我們共同探討如何用放縮法和反證法證明不等式 . 三、講解范例： 例 1 若 a, b, c, d?R+，求證： 21 ????????????? cad dbdc cacb bdba a 例 2 當(dāng) n 2 時，求證： 1)1(lo g)1(lo g ??? nn nn 例 3 求證： 213121112222 ????? n? 提示 ： 用放縮法，nnnnn 111)1( 112 ????? 例 4 設(shè) 0 a, b, c 1，求證： (1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同時大于 41 提示： 用反證法 .1 例 5 已知 a + b + c 0， ab + bc + ca 0， abc 0，求證： a, b, c 0 提示： 用反證法 . 四、課后作業(yè) ： 證明下列不等式： 1．設(shè) x 0, y 0,yx yxa ????1, yyxxb ???? 11，求證： a b 2． lg9?lg11 1 3．若 a b c, 則 0411 ?????? accbba 4． )2,(11211112 ????????? ? nRnnnnn ? 5． 121211121 ??????? nnn ? 6．設(shè) 0 a, b, c 2，求證： (2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同時大于 1 7．若 x, y 0，且 x + y 2，則 xy?1 和yx?1中至少有一個小于 2 不等式的證明（ 6） 教學(xué)目的： 要求學(xué)生逐步掌握利用函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想法證明不等式。 教學(xué)難點： 巧妙地構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造方程 . 教學(xué)過程 ： 一、引入： 函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想是重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)、方程、不等式有密切的聯(lián)系；通過構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造方程，利用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)或簡單的方程論可以有效地解決一些不等式 的證明問題 . 二 、講解范例： 例 1 已知 x 0，求證： 25111 ???? xxxx 提示： 構(gòu)造函數(shù) uuuf 1)( ?? ， 21 ??? xxu ，判斷 f (x)在 ),2[ ?? 上單調(diào)性，問題便可得證 . 例 2 時取等號當(dāng)且僅當(dāng)（則若nnnnnnnnbabababa bbbbaaaababababaRbbbbRaaaa????????????????????????332211223222122322212332211321321 ))(() 。 提示： 由題設(shè)顯然 a, b, c 中必有一個正數(shù)，不妨設(shè) a 0， 則????? ? ???abcacb 2 ，于是可以構(gòu)造以 a,b 為兩實數(shù)根的一元二次方程 . 例 4 求證： ),2(3t a ns e c t a ns e c3122 Zkk ?????????? ???? 提示： 設(shè) ??? ???? tansec tansec22y ，則 (y ? 1)tan2? + (y + 1)tan? + (y ? 1) = 0 . 分 當(dāng) y = 1 時， 和 當(dāng) y ? 1 時， 關(guān)于 tgθ 的方程有實數(shù)根的條件命題即可獲證 . 三 、課后作業(yè) ： 證明下列不等式： 1． 3113122 ??? ??? xx xx 2．已知關(guān)于 x 的不等式 (a2 ? 1)x2 ? (a ? 1)x ? 1 0 (a?R)，對任意實數(shù) x 恒成立，求證： 135 ??? a 。 重點難點： 培養(yǎng)發(fā)散思維，一題多解的能力 . 教學(xué)過程 ： 一、 簡述不等式證明的幾種常用方法 比較、綜合、分析、換元、反證、放縮、構(gòu)造 二、 例題： 例一、 已知 0 x 1, 0 a 1，試比較 |)1(lo g| |)1(lo g| xx aa ?? 和 的大小。 例二、 已知 x2 = a2 + b2， y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證： xy≥ ac + bd 證一：（分析法）∵ a, b, c, d, x, y 都是正數(shù) ∴要證： xy≥ ac + bd 只需證： (xy)2≥ (ac + bd)2 即： (a2 + b2)(c2 + d2)≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd 展開得： a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd 即： a2d2 + b2c2≥ 2abcd 由基本不等式，顯然成立 ∴ xy≥ ac + bd 證二：（綜合法） xy = 222222222222 dbdacbcadcba ?????? ≥ bdacbdacdba b c dca ?????? 22222 )(2 證三：（綜合法）根據(jù)柯西不等式， 2 2