[工學(xué)]第3章復(fù)變函數(shù)的積分-展示頁(yè)
2024-10-25 18:46本頁(yè)面
【正文】 ，函數(shù) 在 上有定義．沿 到 的方向把曲線任意分成個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為 ，在每個(gè)弧段 上任意取一點(diǎn) ，并作和式 ，其中 ．記 的長(zhǎng)度， ，．當(dāng) 時(shí)，如果和式的極限存在，且此極限值與對(duì) 的分法及 的取法無(wú)關(guān)，則稱此極限值為 沿從 到 的積分，記為 ． CCA B ()fzA BBzzzzzzA nkk ?? ? , 1210 ??1kkzz? k?1()nn k kkS f z????? 1???? kkk zzz 1k k ks z z???}{ma x1 knk s?? ??? 0??C k?()fz A B()C f z d z? ? 1) 當(dāng) 是連續(xù)函數(shù)且 是光滑 (或按段光滑 ) 曲線時(shí)，則積分 一定存在。 5會(huì)用復(fù)合閉路定理解決一些問(wèn)題 。 3掌握積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)的相關(guān)知識(shí) 。 本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 1了解復(fù)變函數(shù)積分的概念 。第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 ? 本章中 ,我們將給出復(fù)變函數(shù)積分的概念 ,然后討論解析函數(shù)積分的性質(zhì) ,其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質(zhì)是解析函數(shù)積分的基礎(chǔ) ,借助于這些性質(zhì) ,我們將得出解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個(gè)重要的結(jié)論。 2了解復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì) 。 4熟練掌握柯西 — 古薩基本定理 。 6會(huì)用柯西積分公式 。 ? 2)可以通過(guò)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來(lái)計(jì)算。( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )C f z dz f z t dz t f z t z t dt??????? ? ? 積分的性質(zhì) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?dzzfkdzzfk cc ?? ?? ? ? ? 。c c cf z g z d z f z d z g z d z? ? ?????? ? ?? ? ? ?ccf z d z f z d s M L????例 1計(jì)算 其中 為從原點(diǎn)到點(diǎn) 的直線段。10, ???? ttytx? ?? ? 。 ? 解 : dzzc?C12c c cz d z zd z zd z??? ? ?? ?1100111122t d t i t i d tii? ? ???? ? ? ? ??????? 柯西 古薩（ CauchyGoursat）基本定理 ? 古薩基本定理 ? 定理 1：如果函數(shù)在 單連通域內(nèi) 處處解析 ， 那末函數(shù)沿內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線的積分值為零 。 ? 注：積分路徑可以不是簡(jiǎn)單曲線 。 ? ?zf? ?c f z d z? C3 1 2( ) ( ) ( ) 0C C Cf z d z f z d z f z d z?? ? ?? ? ?1 2 2( ) ( ) ( )C C Cf z dz f z dz f z dz?? ? ?? ? ? 古薩定理在多連通域的推廣 ? 定理： 假設(shè) ，為任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線， 在的內(nèi)部， 在以 和 為邊界的區(qū)域 內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則 1C 2C 2C1C()fz 1C 2C D12D D C C? ? ?12( ) ( )CCf z d z f z d z??? 古薩定理在多連通域的推廣 ? 復(fù)合閉路原理： CiCD例 5 C為包含 (0,0)與 (1,0)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。 ( ) ( )F z f z?0( ) ( )zzF z f d??? ?()fzD ? 定義： 若在區(qū)域 內(nèi)有 ，則稱 為 在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)． ? 的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一
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