【正文】 21,?? 線性相關(guān) B．若 21,?? 線性無關(guān)，則必有 21,?? 線性無關(guān) C．若 21,?? 線性相關(guān)，則必有 21,?? 線性無關(guān) D．若 21,?? 線性無關(guān)，則必有 21,?? 線性相關(guān) 6．已知????????????????????? 132,121 是齊次線性方程組 Ax=0 的兩個解，則矩陣 A 可為（ A ） A． )1,3,5( ?? B． ???????? ? 112 135 C． ???????? ? ?712 321 D．??????????????135221121 )1,3,5( ?? 0121????????????， )1,3,5( ?? 0132??????????? ． 7．設 m n 矩陣 A 的秩 r(A)=n3（ n3）， ??? , 是 齊次線性方程組 Ax=0 的三個線性無關(guān)的解向量，則方 程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系為（ D ） A． ???? ?, B． ???? ?, C． ?????? ??? , D． ?????? ??? , 其中只有 ?????? ??? , 線性無關(guān)． 8．已知矩陣 A 與對角矩陣 D=????????????100010001 相似，則 ?2A （ C ） A． A B． D C． E D． E? 存在 P ，使 DAPP ??1 ， 1??PDPA ， EPPP E PPPDA ???? ??? 11122 ． 9．設矩陣 A=??????????001010100 ，則 A 的特征值為（ D ） A． 1， 1， 0 B． 1， 1， 1 C． 1， 1， 1 D． 1， 1， 1 )1()1()1)(1(1 1)1(0101010|| 22 ??????? ???????? ??????????? AE ． 10．設 A 為 n（ 2?n ） 階矩陣， 且 EA?2 ，則必有（ C ） A． A 的行列式等于 1 B． A 的逆矩陣等于 E C． A 的秩等于 n D． A 的特征值均為 1 1|| 2?A ， 0|| ?A ， A 的秩等于 n． 二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 11．已知行列式 011103212??a ，則數(shù) a =__3__． 0)3(332 3111103203111103212?????????aaaa ， 3?a ． 12．設方程組??? ?? ?? 02 02 21 21 kxx xx有非零解，則數(shù) k = __4__． 042 21 ??? kk ， 4?k ． 13．設矩陣 A= ???????? ?? 311 102， B= ???????? 753 240，則 ?BAT???????????????19119753333 ． ?BAT????????????311012???????? 753 240 = ???????????????19119753333 ． 14．已知向量組??????????????????????????????????????????????4212,0510,2001321 t??? 的秩為 2，則數(shù) t=__3__． ???????????????????????????????????????????????000300110201000250110201402250110201ttt，秩為 2，則 3?t ． 15．設向量 )1,21,1,2( ??? ，則 ? 的長度為 __5/2__． 16．設向量組 )3,2,1(1 ?? ， )6,5,4(2 ?? ， )3,3,3(3 ?? 與向量組 321 , ??? 等價，則向量組321 , ??? 的秩為 __2__． ??????????????????????????????????????000630321630630321333654321 ，秩為 2． 17．已知 3 階矩陣 A 的 3 個特征值為 3,2,1 ，則 ??||A __36__． ??||A 36)321(|||| 221 ?????? AA n ． 18．設 3 階實對稱矩陣 A 的特征值為 0,3 321 ??? ??? ，則 r(A)= __2__． A 相似于??????????000030003 ， r(A)=2． 19．矩陣 A=????????????314122421 對應的二次型 f =323121232221 28432 xxxxxxxxx ????? ． 20．設矩陣 A= ????????? 10 02，則二次型 AxxT 的規(guī)范形是 2221 yy ? ． 222122212 yyxxAxx T ????? ，其中 21 xy? ， 12 2xy ? ． 三、計算題（本大題共 6小題，每小題 9 分，共 54 分） 21．計算行列式 D=5021011321014321???的值． 解：93253100271264122271216413000122215021011321014321??????????????????????? 24)1527(293 532 ??????? ???? ． 22．已知 A= ????????? 21 41， B= ????????? 11 02， C= ???????? ?10 13，矩陣 X 滿足 AXB=C，求解 X． 解： ?),( EA ????????? 10 0121 41 ? ???????? 11 0160 41 ? ???????? 11 0360 123 ? ???????? ?11 2160 03 ? ???????? ? 6/16/1 3/23/160 01 ， ??1A ???????? ? 6/16/1 3/23/1 ； ?)( EB ????????? 10 0111 02 ? ????????? 20 0122 02 ? ???????? 21 0120 02 ? ???????? 12/1 02/110 01 ，??1B ???????? 12/1 02/1． ?? ?? 11CBAX ???????? ? 6/16/1 3/23/1 ???????? ?10 13 ???????? 12/1 02/1= ???????? ?11 42121 ???????? ?10 13 ???????? 21 01 = ???????? 03 66121 ???????? 21 01= ???????? 03 1212121= ???????? 04/1 11． 23． 求向量 T)2,1,3( ??? 在基 T)2,1,1(1 ?? ， T)1,3,1(2 ??? ， T)1,1,1(3 ?? 下的坐標，并將 ?用此基線性表示． 解：設 332211 ???? xxx ??? ，即 TTTT xxx )1,1,1()1,3,1()2,1,1()2,1,3( 321 ????? ，得 ???????????????22133321321321xxxxxxxxx ， ?A????????????211211313111 ???????????????413040403111 ???????????????413010103111 ???????????????110010103111 ?????????????110010103111 ?????????????110010102020 ????????????110010101001 ， 11?x ， 12 ??x ， 13?x ． ? 在基 321 , ??? 下的坐標是 )1,1,1( ? ， 321 ???? ??? ． 24．設向量組 321 , ??? 線性無關(guān)，令 311 ??? ??? ， 322 22 ??? ?? ，3213 352 ???? ??? ，試確定向量組 321 , ??? 的線性相關(guān)性． 解： 設 0332211 ??? ??? kkk ，即 0)352()22()( 3213322311 ???????? ??????? kkk ， 0)32()52()2( 3321232131 ???????? ??? kkkkkkk ， 由 321 , ??? 線性無關(guān)，得?????????????032052023213231kkkkkkk ， 052 52321520520321520201??????????? ，有非零解，321 , ??? 線性相關(guān)． 25．已知線性方程組?????????????????322321321321????xxxxxxxxx ， （ 1）討論 ? 為何值時，方程組無解、有 惟一解、有無窮多個解． （ 2）在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解（用一個特解和導出組的基礎(chǔ)解系表示）． 解： ?),( bA?????????????311211211???? ?????????????????3311001102112 ?????? ?????????????????)1(3)2)(1(000110211??????． （ 1） 2??? 時無解， 2??? 且 1?? 時惟一解， 1?? 時有無窮多個解． （ 2） 1?? 時， ?),( bA?????????? ?000000002111 ，???????????3322321 2xxxxxxx ，通解為 ???????????????????????????????????10101100221 kk． 26．已知矩陣 A=??????????111111111 ，求正交矩陣 P 和對角矩陣 ? ，使 ??? APP 1 ． 解：111111111)3(113113113111111111||????????????????????????????????????????? AE )3(0101001)3( 2 ???? ????? ，特征值 021 ???? ， 33?? ． 對于 021 ???? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ????????????????????????????????000000111111111111AE? ， ??????????3322321xxxxxxx ，基礎(chǔ)解系為??????