【正文】 ：小車位置 φ：擺桿與垂直向上方向的夾角 θ：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定 ,因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。 在忽略了空氣阻力，各 種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng) . 下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關(guān)系。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用 數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系。 指導(dǎo)教師簽字 ___________________ 年 月 日 教研室主任意見： 教研室主任簽字 ___________________ 年 月 日 *注：此任務(wù)書由課程設(shè)計指導(dǎo)教師填寫。 第 4 周 （ 1）實物調(diào)試； （ 2）撰寫課程設(shè)計論文。 工作量： 1. 建立 直線 一 級 倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型； 2. 倒立擺系統(tǒng)的 PID 控制器設(shè)計、 MATLAB 仿真及實物調(diào)試； 3. 倒立擺系統(tǒng)的 極點配置 控制器設(shè)計、 MATLAB 仿真及實物調(diào)試。 2．設(shè)計 PID 控制器，使得當(dāng)在小車上施加 的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為： （ 1）穩(wěn)定時間小于 5 秒 ； （ 2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于 弧度 。 設(shè)計要求： 1．推導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。 Harbin Institute of Technology 課課 程程 設(shè)設(shè) 計計 說說 明明 書書 （（ 論論 文文 ）） 課程名稱： 控制系統(tǒng)設(shè)計課程設(shè)計 設(shè)計題目： 直線一級倒立擺控制器設(shè)計 院 系： 班 級： 設(shè) 計 者： 學(xué) 號： 指導(dǎo)教師： 羅晶 周乃馨 設(shè)計時間： —— 哈爾濱工業(yè)大學(xué)教務(wù)處 哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計任務(wù)書 姓 名： 院 （系）： 英才學(xué)院 專 業(yè)： 班 號： 任務(wù)起至日期： 2021 年 9 月 2 日至 2021 年 9 月 13 日 課程設(shè)計題目： 直線 一 級 倒立擺控制器設(shè)計 已知技術(shù)參數(shù) 和設(shè)計要求： 本課程設(shè)計的被控對象采用固高公司的 直線 一 級 倒立擺系統(tǒng) GIP100L。 系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為： M 小車質(zhì)量 Kg ； m 擺桿質(zhì)量 Kg ； b 小車摩擦系數(shù) N/m/sec ； l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 m ； I 擺桿慣量 kg*m*m ； T 采樣時間 秒。用 Matlab 進(jìn)行 階躍 輸入仿真，驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 3．設(shè)計 狀態(tài)空間極點配置 控制器，使得當(dāng)在小車上施加 的階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為： （ 1）擺桿角度 ? 和小車位移 x 的穩(wěn)定時間小于 3 秒 （ 2） x 的上升時間小于 1 秒 （ 3） ? 的超調(diào)量小于 20 度（ 弧度） （ 4）穩(wěn)態(tài)誤差小于 2%。 工作計劃安排 ： 第 3 周 （ 1） 建立 直線 一 級 倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型； （ 2） 倒立 擺系統(tǒng)的 PID 控制器設(shè)計、 MATLAB 仿真； （ 3） 倒立擺系統(tǒng)的 極點配置 控制器設(shè)計、 MATLAB 仿真。 同組設(shè)計者及分工： 各項工作 獨立完成。哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計說明書（論文） 第一章 直線一級倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)及建立 直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo) 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機(jī)理建模和實驗建模。這里面包括輸入信號的設(shè)計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。下面我們采用其中的牛頓－歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。其中， N和 P為小車與擺桿水平和垂直方向的分量。 應(yīng)用牛頓方法來建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程過程如下： 分析小車水平方向受到的合力，可以得到下面等式： Mx F bx N? ? ? （ 11） 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析 可以得到下面等式： ? ?22 s indN m x ldt ??? （ 12） 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? （ 13） 哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計說明書（論文） 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： ? ? 2c o s sinM m x b x m l m l F? ? ? ?? ? ? ? ? （ 14） 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到 下面方程： ? ?22 c o sdP m g m ldt ?? ? ? （ 15） 2sin c osP m g m l m l? ? ? ?? ? ? （ 16） 力矩平衡方程如下： si n c osPl N l I? ? ?? ? ? （ 17） 注意：此方程中力矩的方向，由于 , c os c os , si n si n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，故等式前面有負(fù)號。用 u 來代表被控對象的輸入力 F ，線性化后兩個運動方程如下： ? ?? ?2M m x bx ml uI ml mgl mlx???? ? ? ? ??? ? ? ??? （ 19） 對以上微分方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計說明書（論文） ? ?? ? 222 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )M m X s s bX s ml s s U sI ml s s mgl s mlX s s? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? （ 110） 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為 0。ux? ，則有： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計說明書（論文） 39。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： 22( ) 0 .0 6( ) 0 .0 2 4 0 .5 8 8ssX s s? ? ? （ 121） 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞 函數(shù)： 2( ) 0 .0 6( ) 0 .0 2 4 0 .5 8 8sV s s? ? ? （ 122） 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù) 24 3 2( ) 5 0( ) 1 1 2 3 7 3 4 9ssU s s s s s? ? ? ? ? （ 123） 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 0 1 0 0 0147 200 055 1100 0 0 1503430 011111 0 0 0 00 0 1 0 0211511xxxxuxxxyu????