【正文】 ????，那么 nz 不趨近于 0，所以級數發(fā)散． (3) i222111nnnenn?????????收斂，即級數 i221nnen?????絕對收斂，所以收斂． 將下列各函 數展成 z 的冪級數，并指出它們的收斂半徑． (1) 311 z?； (3) 2cosz ． 解： (1) 3 3 633 011 ( ) 11 1 ( ) nn z z zzz??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?． 因為 1( 1)lim 1( 1)nnn????????，所以收斂半徑 1R? ． (3) 2202 1 2 2 3 4 5 60c os 2 1 1 ( 2 )c os ( 1 ) 12 2 ( 2 ) !2 1 2 2 2( 1 ) 1( 2 ) ! 2 2 ! 4 ! 6 !nnnnnnnzzznz z z zn????????? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? 因為211212( 1 )( 2 2) ! 4l i m l i m 0( 2 1 ) ( 2 2)2( 1 )( 2 ) !nnnnnnnnnn????? ? ? ?? ?? ? ????，所以收斂半徑 R?? ． 將下列各函數在指定點 0z 處展成泰勒級數，并指出它們的收斂半徑． (3) 21z， 0 1z ?? ； (4) 143z? ， 0 1iz ?? ； (6) arctanz ， 0 0z? ． 解： (3) 0() 20() ( 1 ) ( 1 ) ! 1!!n nnn zzfz nznn?????? ? ? ?，則 201 ( 1)( 1) nn nzz??? ? ??． 因為 1lim 1nnn??????，所以收斂半徑 1R? ． (4) 0() 101() 3 ! ( 4 3 ) 3! ! ( 1 3 i )n n n nnnzzfz nzc nn ?????? ? ? ?，則 ? ?1013 (1 i )4 3 (1 3 i )n nnn zz ? ??? ? ???? ． 因為 121 333l im (1 3 i ) (1 3 i ) 10nnnnn??????????，所以收斂半徑 103R? ． (6) 21222 00 0 000a r c ta n ( ) ( ) ( 1 )1 2 1nz z zn n nn nnd z zz z d z z d zzn????? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?． 因為 1( 1 ) ( 1 )lim 12 3 2 1nnn nn??????????，所以收斂半徑 1R? ． 求下列各函數在指定圓環(huán)域的洛朗級數展開式： (2) 21(1 )zz?， 01z??， 11z? ? ???； (5) 2 1( i)zz?，在以 i 為中心的圓環(huán)域內； (7) 1( 2)( 3)zz??， 3z? ． 解： (2) 在 01z??內，由于011 nn zz???? ?，且211(1 ) 1zz???? ??????，所以 2 01 ( 1)(1 ) nn nzz????? ?， 從而2 11 ( 2 )(1 ) nn nzzz?????? ?． 在 11z? ? ???內，由于 1 11z ??，所以 01 1 1 1 1 111 ( 1 ) 1 1 11 1nnz z z z zz????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ?， 從而2301 ( 1)(1 ) ( 1)nnnz z z??? ?????． (5) 當 0 i 1z? ? ? 時，由于211zz????????? ，且 1001 1 1 1 1 i ( i )( 1 )ii ( i ) i i i i1 in nnnnnzzzzz?????????? ? ? ? ? ? ?????? ??? ??， 所以 12111 ( i )( 1) innnn nzz???? ?? ? ??，從而 212111 ( i )( 1 )( i ) innnn nzzz?? ??? ???? ?． 當 1iz? ? ?? 時，由于 i 11z ??，所以 1001 1 1 1 1 i i( 1 )ii ( i ) i i i ( i )1 in nnnnnz z z z z zz???????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ??， 且211zz????????? ，從而2211 ( 1)i( 1) ( i)nnnn nzz??? ??? ??，所以 2311 ( 1 ) i( 1 )( i ) ( i)nnnn nz z z??? ??????． (7) 由于 2 1z?且 3 1z?，所以 10 0 0 01 1 1 1 1 1( 2) ( 3 ) 3 2 1 3 1 21 3 2 1 3 2 3 2nn n n n nnnn n n nz z z z z z zz z z z z z? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 習題 5： 求下列函數的孤立奇點并確定它們的類別，若是極點，指出它們的級． (1) 221( 1)zz?； (3) 3sinzz； (4) ln( 1)zz? ； (7) 2 1( 1)zze?； (11) 1sin1 z? ． 解： (1) 易見 0z? ， iz?? 是221() ( 1)fz zz? ?的孤立奇點．由于220 1lim ( 1)z zz? ???，22i 1lim ( 1)z zz?? ???，所以 0z? ，iz?? 是極點． 0z? ，一級極點， iz?? ，二級極點． (3) 30 sinlimz zz? ??，所以 0z? 是極點． 0z? ，二級極點． (4) 易見 0z? 是 ln( 1)() zfz z?? 的孤立奇點，且0 ln( 1)lim 1z zz? ? ?，所以 0z? 是可去奇點； (7) 0z? ，三級極點， 2 i 1, 2 ,z k k?? ? ? ?（ ），一級極點； (11) 1z? ，本性奇點． 求下列各函數在有限奇點處的留數． (2) ? ?211zz? ； (3) ? ?2 22 1zz ?； (6) 2 1sinzz． 解： (2) 記 ? ?21() 1fz zz? ? ，則易見 0 ， 1? 是 ()fz的孤立奇點，且他們都是一級極點．由規(guī)則Ⅰ， ? ? 200 1R e s [ ( ) , 0 ] l im 0 ( ) l im 11zzf z z f z z??? ? ? ??， ? ?11 11R e s [ ( ) , 1 ] l im 1 ( ) l im ( 1 ) 2zzf z z f z zz?? ?? ? ? ? ??， ? ?11 11R e s [ ( ) , 1 ] l im 1 ( ) l im ( 1 ) 2zzf z z f z zz? ? ? ?? ? ? ? ? ??． (3) 記 ? ?222() 1zfzz? ?，則 ()fz有二級極點 i? ．由規(guī)則Ⅱ， ? ? 3ii1 2 i iR e s [ ( ) , i ] l im i ( ) l im( 2 1 ) ! ( i) 4zzdzf z z f zd z z??? ? ? ? ???????， ? ? 3ii1 2 i iR e s [ ( ) , i ] l im i ( ) l im( 2 1 ) ! ( i) 4zzdzf z z f zd z z? ? ? ? ?? ? ? ? ???????． (6) 記 2 1( ) sinf z z z? ，則 ()fz有本性奇點 0 0z? ．因為 1sinz 在 0 0z? 的去心鄰域 0 z? ?? 內的洛朗級數為 2101 ( 1)sin ( 2 1) !nnnzzn?????? ?? 于是有 ? ?212 01 ( 1 )s in 0( 2 1 ) !nnn zzzzn ???? ?? ? ? ??? 其中 1n? 的項的系數 1 13!c? ?? ，所以 1R es[ ( ), 0] 6fz ?? 利用留數定理計算下列積分． (1) 22( 1) ( 1)C dzzz???， C 為圓周 22 2( )x y x y? ? ? 解：被積函數 ()fz在圓周 C 的內部有一級極點 0 iz? 和二級極點 1 1z? ，由留數的計算規(guī)則Ⅰ、Ⅱ得 ? ? 2ii 11R e s [ ( ) , i ] l im i ( ) l im ( 1 ) ( i