【正文】 上的點(diǎn)，用這樣 的 方 法 描 繪 出 A 的 邊 界 圖 形 ， 這 就 是 逃 逸 時(shí) 間 算 法 的 基 本 思 想 。 Julia 集圖形：見圖 。 然而，當(dāng) 0C? 時(shí)，它向一個(gè)區(qū)域收斂，而不是向一個(gè)點(diǎn)收斂，被吸進(jìn)去的點(diǎn)會(huì)遍歷整個(gè)區(qū)間，我們稱這個(gè)區(qū)間為混沌區(qū)。 當(dāng) 0| | 1z ? 時(shí)，很顯然， z 是平面單位圓上的點(diǎn)。 下面討論 2()f z z? 的一些性質(zhì)，假設(shè)此方程以點(diǎn) 0 0 0z x y i?? ，且 0| | 1z? 開始迭代，則有： 220 0 0 0 0| ( ) | | 2 |F z x y x y? ? ? 2 2 2 20 0 0 0( ) ( 2 )x y x y? ? ? 4 4 2 2 2 20 0 0 0 0 024x y x y x y? ? ? ? 2 2 200()xy?? 因此，在區(qū)域 00 | | 1z??中， 00| ( ) | | |F z z? ，這意味著對(duì) 2()F z z? 的每一個(gè)一次迭代，即 21nnzz? ? ，都會(huì)使 z 向靠 0 的方向移動(dòng)，可以說此時(shí) z 向 0 收斂。 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 3 第二章 分形相關(guān)理論問題 Julia 集 Julia 集是分形中的一個(gè)經(jīng)典集合，它的基本函數(shù)形式為： 2()F Z Z C??，其中 Z 與 C 都為復(fù)數(shù)。并且分形圖形已經(jīng)開始應(yīng)用在包裝，服裝，陶瓷裝飾上面。一方面，分形理 論推動(dòng)了計(jì)算機(jī)繪圖方法的迅速發(fā)展，使計(jì)算機(jī)在信息壓縮及模仿自然現(xiàn)象中的各種奇妙圖形發(fā)揮了重要的作用；另一方面，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用也大大地推動(dòng)了分形理論的發(fā)展，并且由于模擬分形圖成功而展現(xiàn)出優(yōu)美的分形圖像，迅速提高了分形這門新興科學(xué)的聲望，擴(kuò)大了她的影響。并且由于分形幾何方法的引入，使一些原已死寂的老學(xué)科方向煥發(fā)了新的生機(jī)，也使一些正蓬勃發(fā)展的新學(xué)科獲得了巨大的推動(dòng)力。 本文選題的背景 分形幾何，這門新的數(shù)學(xué)分支一創(chuàng)立，就日益受到各國學(xué)者的重視，在過去的十幾年里，分形科學(xué)已有了很大的發(fā)展。學(xué)會(huì)從實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)測算分維是最近的一大進(jìn)展。分形存在于這中間區(qū)域。小于 1 公里的云朵，更受地形概貌影響，大于 1000 公里時(shí)，地球曲率開始起作用。當(dāng)然，還有海岸線的長度到底是多少這個(gè)問題也用到分形。 自然界中更大的尺度上也存在分形對(duì)象。 在某些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近成績的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外增長。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo)數(shù)的曲線。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。 分形的應(yīng)用 分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。曼德勃羅想 用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐氏幾何不能描述的一大類復(fù)雜不規(guī)則的幾何對(duì)象，例如，曲折的海岸線，起伏的山脈，變幻的浮云，縱橫的血管等，它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)就是極不規(guī)則或極不光滑，直觀而粗略地說，這些對(duì)象都是分形。 分形在英文中為 fractal，是由美籍法國數(shù)學(xué)家曼德勃羅 (Benoit Mandelbrot)創(chuàng)造出來的。在這些定義中，最為流行的一個(gè)定義是：分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖 像 或者物理過程。 嚴(yán)格地而且正式地去定義分形是一件非常復(fù)雜而且困難的事情。t be defined exactly. Say in a simple way, if one part of an object is affine with another part of this, we can say this object is a fractal. From 1975 Benoit Mandelbrot published his works Fractal: Form, Chance and Dimension, the theory of fractal is wildly used in physics, chemistry, biology, medicine, puter science etc. And this topic dedicate for the use of fractal theory in puter. Because the beauty of the fractal picture, if drawing in a good way, you can get a perfect picture, so the picture can be used for dress, porcelain, and so on. This topic point of the escaping time algorithm is the main way of drawing the fractal picture, but also show a new way to render the fractal picture in detail, it can give the picture more smoothly color change, thereby it give the picture more aesthetic feeling. Further, this topic explain the use of puter graphics theory in the fractal picture39。另外，分形在其它學(xué)科的應(yīng)用也日益廣泛，可見，分形在今后會(huì)得到更大的發(fā)展，有更廣闊的應(yīng)用空間。本文還涉及了元胞機(jī)自動(dòng)圖案的生成以及GumowskiMira 分形，生成了經(jīng)典的三翅鷹圖形，并且實(shí)現(xiàn)了對(duì)其色彩的編輯功能。另外，本文也 詳細(xì)說明了分形圖形的一種著色方案，它可以使分形圖形的著色過程更富有過渡性，從而使圖形具有更強(qiáng)的美感。 因?yàn)榉中螆D形有極強(qiáng)的藝術(shù)性，繪制得當(dāng)，可以產(chǎn)生非常漂亮的圖片，因此可以用于裝飾，包裝，服裝等需要藝術(shù)圖案的場所。自分形之父曼德勃羅（ Benoit Mandelbrot）在 1975年出版專著《分形對(duì)象：形、機(jī)遇與維數(shù)》，標(biāo)志著分形理論正式誕生以來。 I 學(xué)院理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 分形理論在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用 位圖與矢量圖形變換 II 目錄 目錄 ............................................................................. II 摘要 ............................................................................ III ABSTRACT ......................................................................... IV 第一章 分形概論 .................................................................. 1 什么是分形 .................................................................................................................. 1 分形的應(yīng)用 .................................................................................................................. 1 本文選題的背景 .......................................................................................................... 2 第二章 分形相關(guān)理論問題 ........................................................... 3 JULIA集 .......................................................................................................................... 3 逃逸時(shí)間算法的基本思想 ........................................................................................ 4 逃逸時(shí)間算法繪制 JULIA 集與 MANDELBROT集 ......................................................... 4 分形圖形著色方案 ..................................................................................................... 6 JULIA集與 MANDELBROT 集圖形的矢量變換 .............................................................. 7 二維元胞自動(dòng)機(jī)生成分形圖案 ............................................................................. 10 GUMOWSKIMIRA公式 .................................................................................................... 11 分形圖形的位圖操作 ............................................................................................... 11 第三章 畢業(yè)設(shè)計(jì)結(jié)果和分析 ........................................................ 23 程序概況 ..................................................................................................................... 23 程序說明 ..................................................................................................................... 27 補(bǔ)充說明 ..................................................................................................................... 31 參考文獻(xiàn) ......................................................................... 32 致 謝 .......................................................................... 33 APPENDIX ......................................................................... 34 附錄 ............................................................................. 40 學(xué) 士學(xué) 位論文 摘要 III 摘要 分形是一門幾何學(xué)科，它研究的是歐氏空間的一類子集，但很難對(duì)它下一個(gè)確切的定義?？梢院唵蔚卣f，如果一個(gè)對(duì)象的部分與整體具有自仿射變換關(guān)系，我們就可以 稱它為分形。分形已經(jīng)廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等諸多領(lǐng)域，而本文著眼于分形理論與計(jì)算機(jī)知識(shí)的結(jié)合。本文重點(diǎn)介紹了分形圖形的重要生成算法 —— 逃逸時(shí)間算法，并且詳細(xì)說明了使用逃逸時(shí)間算法生成 Julia集與 Mandelbrot 集的算法過程。本文還詳細(xì)說明了分形圖形在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)相關(guān)理論上的應(yīng)用，比如分形圖形的矢量移動(dòng)，旋轉(zhuǎn)，縮放，以及對(duì)分形圖形進(jìn)行相關(guān)特殊變換，此外，還可修改圖形的參數(shù)，修改圖形的顏色等等。 因?yàn)榉中螆D形展示的是數(shù)學(xué)與藝術(shù)的成果，它日益受到人們的重視，甚至引發(fā)了分形是不是藝術(shù)的討論，隨著時(shí)間的流逝，分形是一種 藝術(shù)已經(jīng)為人們所承認(rèn)，分形與計(jì)算機(jī)的結(jié)合也越來越緊密，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中已經(jīng)專門引入了分形算法，以生成自然景觀等。 關(guān)鍵詞 ：分形，矢量變換， Julia 集， Mandelbrot 集 ,逃逸時(shí)間算法 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 A b s t r a c t IV ABSTRACT Fractal is a geometrical subject. It studies a subset of Euc