【正文】 raphic for the fashionable dress, the decoration of house, the device of advertisement and so on. Key words: Fractal theory, Fractal dimension, Newton iteration, Koch curve, Mandelbrot set, Julia set 3 1. 緒論 分形理論是近幾十年才開始興起和發(fā)展的一門學(xué)科，其主要描述自然界和非線性系統(tǒng)中不光滑和不規(guī)則形體 [8,12]。通過對(duì)一些參數(shù)的修改，從而改變分形圖的形狀，位置，顏色等屬性，最后將生成的分形圖形以 BMP圖片格式保存到電腦硬盤中。在了解分形理論的基本知識(shí)和分形幾何的維數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)分形圖形的算法作了總結(jié)。因此對(duì)分形理論的研究既具 有理論意義，又具有非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。 學(xué) 生 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文） 課題名稱 分形理論在圖形學(xué)中的應(yīng)用 姓 名 學(xué) 號(hào) 院 系 計(jì)算機(jī)科學(xué)系 專 業(yè) 信息管理與信息系統(tǒng) 指導(dǎo)教師 2020 年 6 月 18 日 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 2020 屆學(xué)生 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )材料 （四） 目 錄 摘 要 .............................................................. 1 關(guān)鍵詞 .............................................................. 1 Abstract ........................................................... 1 Key words .......................................................... 2 1. 緒論 ............................................................. 3 . 本課題研究的意義 .............................................. 3 . 本課題已有的研究成果與現(xiàn)狀分析 ................................ 4 . 分形理論在圖形學(xué)中的應(yīng)用研究 ............................. 4 . 分形圖的計(jì)算機(jī)生成 ....................................... 5 . 國(guó)內(nèi)外在計(jì)算機(jī)分形圖形方面的研究狀況 ..................... 5 . 分形圖案的應(yīng)用及存在的問題 .................................... 6 . 本文主要的研究工作 ............................................ 7 2. 分形理論的基本知識(shí) .............................................. 8 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基本知識(shí) .......................................... 8 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究?jī)?nèi)容 ................................... 8 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展歷史與現(xiàn)狀 ............................. 9 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) ................................... 9 . 分形幾何發(fā)展的三個(gè)階段 ....................................... 10 . 分形定義及基本特征 ........................................... 11 . 分形維數(shù)定義及計(jì)算 ........................................... 13 . 分?jǐn)?shù)維 .................................................. 13 . Hausdorff 維 ............................................. 14 . 盒維 .................................................... 16 . 其它維數(shù) ................................................ 17 . 分形幾何與歐氏幾何的區(qū)別 ..................................... 18 3. 分形算法 ........................................................ 19 . 分形的遞歸算法 ............................................... 19 . 直接遞歸調(diào)用 ............................................ 20 . 間接遞歸調(diào)用 ............................................ 20 . 分形的文法構(gòu)圖算法（字符串替換） ............................. 20 . 分形的 迭代函數(shù)系統(tǒng)算法 ....................................... 21 . 逃逸時(shí)間算法 ................................................. 22 4. 經(jīng)典分形圖形 .................................................... 22 . 自相似分形 ................................................... 23 . Cantor 集 ................................................ 23 . Koch 曲線 ................................................ 24 . Sierpinski 集 ............................................ 26 . 復(fù)迭代中的分形 ............................................... 28 . Julia 集 ................................................. 29 . Mandelbrot 集 ............................................ 30 . Mandelbrot 集與 Julia 集的關(guān)系 ............................ 32 . 牛頓法迭代分形 ............................................... 33 . Lsystem 分形 ................................................ 34 . IFS 迭代系統(tǒng) ................................................. 36 5. VC++ 下分形圖形的實(shí)現(xiàn) ....................................... 37 . 軟件開發(fā)的工具 ............................................... 37 . 軟件開發(fā)的設(shè)計(jì)思路 ........................................... 38 . 開發(fā)分形軟件時(shí)的一些說明和步驟 ............................... 38 . 分形軟件的實(shí)現(xiàn) ............................................... 45 . 軟件實(shí)現(xiàn)的界面 .......................................... 45 . 軟件中的主要菜單功能介紹 ................................ 46 . 本章小結(jié) ..................................................... 47 6. 分形生成和處理軟件的運(yùn)行實(shí)例 ................................... 48 . 牛頓迭代法生成分形圖形實(shí)例 ................................... 48 . 經(jīng)典分形圖形的生成實(shí)例 ....................................... 49 . Julia 集的生成過程 ....................................... 49 . 搖曳的分形樹的生成 ...................................... 49 結(jié)論 ............................................................... 50 參考文獻(xiàn) ........................................................... 51 致謝 ............................................................... 52 1 分形理論在圖形學(xué)中的應(yīng)用 摘 要 ： 分形理論是近幾十年才開始興起和發(fā)展的一門學(xué)科，其主要描述自然界和非線性系統(tǒng)中不光滑和不規(guī)則的幾何形體。它在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、材料科學(xué)、生物與醫(yī)學(xué)、地質(zhì)與地理學(xué)、地震和天文學(xué)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)等。 本文主要研究分形理論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，特別是在計(jì)算機(jī)圖形繪制方面的實(shí)際應(yīng)用。以 VC++ 作為軟件開發(fā)的工具，實(shí)現(xiàn)了對(duì)一些經(jīng)典分形圖的繪制，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)了牛頓迭代分形圖、 Koch曲線、 Sierpinski墊片， Mandelbrot集、分形樹等經(jīng)典分形圖形。將分形理論 應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形設(shè)計(jì)，生成了許多絢麗多彩的分形圖形，計(jì)算機(jī)與藝術(shù)很好的結(jié)合在一起，在時(shí)裝設(shè)計(jì)、家具設(shè)計(jì)、廣告設(shè)計(jì)等領(lǐng)域都有廣闊的圖形設(shè)計(jì)空間。它在許多領(lǐng)域都有很廣泛的應(yīng)用，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、材料科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物與醫(yī)學(xué)、地質(zhì)與地理學(xué)、地震和天文學(xué)等。分形迭代函數(shù)系統(tǒng)產(chǎn)生無窮多的圖形可以用于圖案設(shè)計(jì)、創(chuàng)意制作、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫，實(shí)物模擬仿真、裝飾工程等具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。 計(jì)算機(jī)圖形設(shè)計(jì)是一門集計(jì)算機(jī)應(yīng)用和美術(shù)創(chuàng)作于一體的綜合藝術(shù)，它包含兩方面的內(nèi)容，首先是用特殊的操作來處理數(shù)字化圖像的過程，其次是集電腦技術(shù)、數(shù)字技術(shù)和藝術(shù)創(chuàng)作于一體的綜合內(nèi)容。傳統(tǒng)的 計(jì)算機(jī)平面圖形設(shè)計(jì)幾乎都是用經(jīng)典幾何學(xué)中的點(diǎn)、線、圓弧等描述圖形的，是通過幾何形狀和不同的比例來定義形體的大小或者用數(shù)學(xué)公式來生成的，任何形體的局部均用直線來處理，這種基于歐氏幾何的設(shè)計(jì)只能繪制有規(guī)則的圖形，而對(duì)于大量具有自相似結(jié)構(gòu)和模擬自然景物的圖形的生成就顯得無能為力了。 分形圖形具 有計(jì)算機(jī)邏輯語言與藝術(shù)造型形式耦合的特征，是既不能用經(jīng)典幾何方法描述，也不能用傳統(tǒng)繪圖方式表現(xiàn)的“不規(guī)則”圖形。所以分形圖形錯(cuò)綜、多變、絢麗和富于表現(xiàn)，在圖像設(shè)計(jì)上具有重要的應(yīng) 4 用價(jià)值?，F(xiàn)在隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，這類圖形也可以用計(jì)算機(jī)生成 ，在分形幾何誕生以來，這一部分的研究一直很熱，科學(xué)家和圖形工作者已經(jīng)用計(jì)算機(jī)生成了許多經(jīng)典的分形圖形，如 Cantor集； Koch 曲線； Sierpinski 集； Julia 集 Mandelbrot 集等 [1,5]，還有一些根據(jù)分形理論生成的圖形，也可以根據(jù)分形幾何理論自己設(shè)計(jì)算法用計(jì)算機(jī)生成。 . 分形理論在圖形學(xué)中的應(yīng)用研究 分形理論是近一、二十年才發(fā)展起來的一門新的理論，因而目前仍處于發(fā) 展之中，自然科學(xué)領(lǐng)域 (如物理、化學(xué)、地球物理學(xué)幾生物學(xué)等 )中的分形學(xué)術(shù)論文不斷增加，社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域涉及分形的論文和書籍也越來越多了 [13]。國(guó)際學(xué)術(shù)刊物“混沌、孤子和分形” (Chaos, Soltons and Fractals)和“分形學(xué)”（ FractalsAn Interdisciplinary Journal on the Complex Geometry of Nature）先后也正式創(chuàng)刊。將分形幾何學(xué)引入到計(jì) 算機(jī)圖形學(xué)中，為非規(guī)整形狀圖形的計(jì)算機(jī)描述和處理提供了有利工具，成為目前研究世界物質(zhì)模型的一個(gè)擴(kuò)展。由于分形的自相似性，跨越不同尺度的對(duì)稱，意味著圖案的遞歸在越來越小的尺度上產(chǎn)生細(xì)節(jié)，形成無窮無盡的精致結(jié)構(gòu)，一定程度上超越了人腦的思維，是一種計(jì)算機(jī)藝術(shù)。分形藝術(shù)又不是隨意的，基于數(shù)學(xué)產(chǎn)生的分形的表現(xiàn)是具有決定論本質(zhì)的，使用相同的圖像產(chǎn)生步子，將產(chǎn)生相同的結(jié)果，輕微的改變 輸入?yún)?shù)在運(yùn)行中通常導(dǎo)