數(shù)值與計(jì)算方法第1章緒論-展示頁
2025-05-26 02:18本頁面
【正文】 分析；收斂性、穩(wěn)定性；算法復(fù)雜性等 8 計(jì)算數(shù)學(xué)的對(duì)象 ? 計(jì)算數(shù)學(xué)是一門古老的數(shù)學(xué) 如計(jì)算圓周率、 《 九章計(jì)算 》 等； 牛頓、萊布尼茲等提出的微分、積分計(jì)算； ? 計(jì)算數(shù)學(xué)是一門年輕的數(shù)學(xué) 近代計(jì)算機(jī)的誕生，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的計(jì)算機(jī)計(jì)算 . ? 計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切 ? 計(jì)算數(shù)學(xué)： 計(jì)算機(jī)上的 數(shù)學(xué)方法。1 數(shù)值計(jì)算方法 2 ? 先修課程 高等代數(shù)、線性代數(shù)、一門編程語言 ? 開課情況 48學(xué)時(shí)， 3學(xué)分。 3 教學(xué)安排 ? 1. 緒論 ? 2. 非線性方程的數(shù)值解法 ? 3. 線性方程組的數(shù)值解法 ? 4. 函數(shù)逼近的插值法與曲線擬合法 ? 5. 數(shù)值積分 ? 6. 常微分方程數(shù)值解法 ? 7. 矩陣特征值和特征向量的數(shù)值解法 4 第 1章 緒論 ? 利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題有三大步驟： I. 建立模型 II. 計(jì)算問題的解 ( ； 2 .編寫程序 ) III. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 ? 本課程的任務(wù)： 討論第 Ⅱ 步，即介紹計(jì)算機(jī)上的常用的數(shù)值方法 5 實(shí)際問題 數(shù)學(xué)模型 (數(shù)值 )算法 編程 計(jì)算結(jié)果 抽象：“去偽存真，去粗取精” (Ⅰ ) (Ⅱ ) (Ⅲ ) 6 I. 總體設(shè)計(jì) (含模型的細(xì)化等 ) II. 詳細(xì)設(shè)計(jì) (主要是算法設(shè)計(jì) ) III. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 其中 Ⅱ 包括： ? 連續(xù)系統(tǒng)的離散化 ? 離散型方程的數(shù)值求解 以計(jì)算機(jī)為工具 求解各種數(shù)學(xué)模型需經(jīng)歷三個(gè)過程 7 計(jì)算方法 主要研究將數(shù)學(xué)模型變成數(shù)值問題 , 并研究求解數(shù)值問題的數(shù)值方法，進(jìn)而設(shè)計(jì)數(shù)值算法。 或定義為：研究數(shù)值計(jì)算方法的設(shè)計(jì)、分析和有關(guān)理論基礎(chǔ)與軟件實(shí)現(xiàn)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。 ? 雖然已有大量數(shù)值算法的軟件包，但需要我們 了解算法設(shè)計(jì)的原理 ，以便更好地應(yīng)用。 11 ? 用計(jì)算機(jī)求解，需要首先將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為數(shù)值問題，然后研究求解數(shù)值問題的數(shù)值算法。 即： 輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學(xué)問題 如求解線性方程組 bAx ?求解二次方程 02 ??? cbxaxcbabA , 與系數(shù)常數(shù)項(xiàng)向量輸入的數(shù)據(jù)是系數(shù)矩陣都是數(shù)值問題 21 , xxx 和方程的解輸出的數(shù)據(jù)是解向量13 求解微分方程 ???????0)0(32yxy 是不是數(shù)值問題？ xxy 3, 2 ??函數(shù)但輸出的不是數(shù)據(jù)而是輸入的雖是數(shù)據(jù)將其變成數(shù)值問題，即將其“離散化” xxy 32 ??即將求函數(shù)nn xxxxyxyxy ??? ?? 2121 ),(,),(),(改變成求函數(shù)值“離散化”是將非數(shù)值問題的數(shù)學(xué)模型化為數(shù)值問題 的主要方法，這也是計(jì)算方法的任務(wù)之一 14 （ 2）數(shù)值方法 數(shù)值方法 ：是指解數(shù)值問題的 在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的系列計(jì)算公式。 現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)中幾乎都含有關(guān)于開方的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù) sqrt() 常見的在計(jì)算機(jī)上不能直接運(yùn)行的計(jì)算有 : 開方、極限、 超越函數(shù) 、微分、積分等等。 15 ，應(yīng)化為超越函數(shù) !!212nxxxe nx ????? ?的計(jì)算應(yīng)化為的導(dǎo)數(shù)函數(shù) )()(.4 xyxy ?hxyhxyxy )()()( ????1. 如求根公式 aacbbx2422,1????2. 應(yīng)化為公式 aacbs qr tbx2)4( 22,1????16 ? 例 x=cosx在區(qū)間 內(nèi)的一個(gè)根。 18 .4.,c o s.,.***附近大致位于看出從圖中可以為所求方程的解的橫坐標(biāo)取兩曲線交點(diǎn)作圖像可大致判定此零點(diǎn)位置法若用圖解困難本題用解析法求解較為?xxpxyxy?????19 ? 簡單迭代法 ： 取初值： x0= 迭代得： x1=， x2= … … x42=， x43= ? 牛頓迭代法： 取初值： x0= 迭代得： x1=， x2= x3= nn xx c o s1 ??nnnnnnnn xxxxxfxfxxs i n1c os)()(39。 20 ? ? ????10102212)2(14I 12..dxeIdxxx）（計(jì)算定積分例公式有的復(fù)化被積函數(shù)擇數(shù)值方法有多種，如選Si m ps onxxfhn214)(,21,2????????? 0a r c t a n41a r c t a n4|a r c t a n41101 xI萊布尼茲公式—）由牛頓解：（
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