【正文】 … Xs 2 Xs+1 Xs+2 Xs+3 Xs+4 … X2s … . … n X(n1)s+1 X(n1)s+2 X(n1)s+3 X(n1)s+4 … . Xns （二）季節(jié)時(shí)間序列的特征 重要特征表現(xiàn)為 周期性 ：在一個(gè)序列中，如果經(jīng)過 S個(gè)時(shí)間間隔后觀測(cè)點(diǎn)呈現(xiàn)出相似性 ——該序列具有以 S為周期的周期特性。 ? 在一般的討論中，常將 θ0項(xiàng)略去。 ? 在 ARIMA(p,d,q)模型的一般形式中，還包含了一個(gè) θ0項(xiàng)，它在當(dāng) d=0和d≠0時(shí)所起的作用是非常不同的。 應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)被檢驗(yàn)過程含有未發(fā)現(xiàn)的突變點(diǎn)時(shí)，常導(dǎo)致單位根檢驗(yàn)易于接受原假設(shè)。 0,1:,0,1: 10 ???? ???? HH),0(WN~, 21 ????? tttt yy ???? ?0,0:,0,0: 10 ???? ???? HH),0(WN~, 21 ?????? tttt yty ???? ?ADF檢驗(yàn) ADF檢驗(yàn)亦稱增廣（ Augmented） DF檢驗(yàn)，是 Dickey和 Fuller提出的改進(jìn) DF檢驗(yàn)方法。 ),0(WN~, 21 ???? tttt yy ?? ?1:,1: 10 ?? ?? HH0:,0: 10 ?? ?? HH),0(WN~, 21 ???? tttt yy ??? ?第二種形式 或 原假設(shè)相當(dāng)于認(rèn)為序列是一隨機(jī)游走序列，而備則假設(shè)認(rèn)為序列是一個(gè)帶有漂移項(xiàng)平穩(wěn)序列。 （三）單位根檢驗(yàn) (Unit root test) 單位根檢驗(yàn) ? 定義 –通過檢驗(yàn)特征根是在單位圓內(nèi)還是單位圓上（外），來檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性 ? 方法 –DF檢驗(yàn) –ADF檢驗(yàn) –PP檢驗(yàn) DF檢驗(yàn) DF檢驗(yàn)是 Dickey和 Fuller（ 1976）提出的單位根檢驗(yàn)方法。因此我們可以根據(jù)這個(gè)特性來判斷時(shí)間序列是否為平穩(wěn)序列。 缺點(diǎn)：對(duì)于一般的時(shí)間序列是否平穩(wěn)，不易用這種方法判斷出來。 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)便、直觀。 對(duì)于非確定趨勢(shì)，由于它是一個(gè)慢慢的向上或向下漂移的過程，要判斷這種序列的趨勢(shì)是隨機(jī)性還是確定性的十分困難，采取差分消除趨勢(shì)，效果很好。 由于 齊次非平穩(wěn)序列模型恰有 d個(gè)特征根在單位圓上，即有 d個(gè)單位根 ，因此齊次非平穩(wěn)序列又稱單位根過程。為理解齊次非平穩(wěn)ARMA模型，可先對(duì) ARMA模型的性質(zhì)作一回顧。 ☆ 趨勢(shì)平穩(wěn)過程 若一均值非平穩(wěn)過程可由模型（ 1）刻畫，則稱此過程為 趨勢(shì) 平穩(wěn)過程 . ＊ 趨勢(shì) 平穩(wěn)過程由確定性時(shí)間趨勢(shì)所主 導(dǎo)； ＊ 對(duì)于趨勢(shì) 平穩(wěn)過程，應(yīng)選用退勢(shì)的方法獲得平穩(wěn)過程； ＊ 趨勢(shì) 平穩(wěn)過程的差分過程是過度差分過程 ； ＊ 對(duì)于趨勢(shì) 平穩(wěn)過程，隨機(jī)沖擊只具有有限記憶能力，其影響會(huì)很快消失，由其引起的對(duì)趨勢(shì)的偏離只是暫時(shí)的； （旋轉(zhuǎn)） ＊ 對(duì)于趨勢(shì) 平穩(wěn)過程，只要正確估計(jì)出其確定性趨勢(shì)，即可實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期趨勢(shì)與平穩(wěn)波動(dòng)部分的分離 。 2)()(????? ???? tttt V arV arV ar Z2??t?}{ t?.,::,1010模型來描述前面介紹的可以用程是一個(gè)零均值的平穩(wěn)過其中趨勢(shì)模型表示如下則原序列可用確定的有服從線性趨勢(shì)若均值例如A R M Ayytxtttttt???????????tttyttxtt???????22102210:,???????原序列可用下式表示對(duì)二次均值函數(shù) 此外，均值函數(shù)還可能是指數(shù)函數(shù)、正弦 — 余弦波函數(shù)等，這些模型都可以通過標(biāo)準(zhǔn)的回歸分析處理。 ☆ 思路 將非平穩(wěn)過程的均值函數(shù)用一個(gè)時(shí)間的確定性函數(shù)來描述 . ☆ 模型表達(dá)式 02( ) ( 1 )()( ) , ~ ( 0 , )()kjt t t j tjiidtatZ t B aBB a W NB? ? ????? ? ? ? ??????其 中 ，{} 為 平 穩(wěn) 過 程 .＊ 數(shù)字特征 0( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0( ) ( ).tttkjt t t jjjE E B a B E aE Z E t?? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?因 為所 以此 時(shí) 系 數(shù) 恒 定 不 變因此，稱均值的這種趨勢(shì)為確定性趨勢(shì) . 為平穩(wěn)過程 的方差。 但是許多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域產(chǎn)生的時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的，非平穩(wěn)時(shí)間序列會(huì)出現(xiàn)各種情形，如它們具有非常數(shù)的均值 μt，或非常數(shù)的二階矩，如非常數(shù)方差 σt2，或同時(shí)具有這兩種情形的非平穩(wěn)序列。 第五章 非平穩(wěn)時(shí)間序列模型 ARIMA模型 季節(jié)模型 殘差自回歸模型 條件異方差模型 引言：前面我們討論的是平穩(wěn)時(shí)間序列的建模和預(yù)測(cè)方法，即所討論的時(shí)間序列都是寬平穩(wěn)的。一個(gè)寬平穩(wěn)的時(shí)間序列的 均值和方差 都是常數(shù)，并且它的 協(xié)方差有時(shí)間上 的不變性。 (長(zhǎng)期趨勢(shì)、季節(jié)性變化 ) 例 1 ① 美國(guó) 1961年 1月至 1985年 12月 16—19歲女性失業(yè)人數(shù)的月度序列如圖所示： 顯然，均值水平是隨時(shí)間改變的 . ② 美國(guó) 1871年至 1979年的年度煙草生產(chǎn)量序列如圖所示： 均值水平是隨時(shí)間改變的，同時(shí)方差也隨均值水平的增長(zhǎng)而增長(zhǎng) . ③ 某地 1987年至 1996年某商品月銷售量序列如圖所示： 該序列的季節(jié)特征是明顯的，季節(jié)周期為 12. ※ 非平穩(wěn)過程 ※ ARIMA模型 ARIMA模型 ※ ARIMA模型的建立 ※ 疏系數(shù)模型 ※ 非平穩(wěn)性的檢驗(yàn) 一 非平穩(wěn)過程 （一）平穩(wěn)過程與非平穩(wěn)過程的差異 從統(tǒng)計(jì)屬性看 平穩(wěn)時(shí)間序列具有如下特性： （ 1）具有常定均值，序列圍繞在均值周圍波動(dòng)； （ 2）方差和自協(xié)方差具有時(shí)間不變性； （ 3）理論上，序列自相關(guān)函數(shù)隨滯后階數(shù)的增加而衰減 . 非平穩(wěn)時(shí)間序列不具有上述特性： （ 1）或者不具有常定的長(zhǎng)期均值； （ 2）或者方差和自協(xié)方差不具有時(shí)間不變 性； （ 3）理論上，序列自相關(guān)函數(shù)不隨滯后階數(shù)的增加而衰減 . 考慮如下例子： 當(dāng) 1?? 時(shí)，序列 ? ?ty 平穩(wěn) 如果 1?? ，則序列的方差為： )()()(121ttttttyV aryV aryV ar???????????2121 )(?????tV ar tt?????? ??當(dāng) ??t 時(shí)，序列的方差趨于無窮大，說明序列是非平穩(wěn)的 ),0(~,0 201????WNyyytttt??? ?從圖像特征看 （ 1）平穩(wěn)過程的時(shí)序圖沒有明顯的趨勢(shì)性與周期性： 序列的振動(dòng)是短暫的 ，經(jīng)過一段時(shí)間以后， 振動(dòng)的影響會(huì)消失 ，序列將會(huì)回到其長(zhǎng)期均值水平；在不同時(shí)刻或時(shí)段，序列偏離均值的程度基本相同 . 非平穩(wěn)過程可觀察出明顯的趨勢(shì)性與周期性 . 3 2 1 0 1 2 3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0 0 ),0(~,)( 2???? WNya ttt ? 6 4 2 0 2 4 6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4 2 0 2 4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ),0(~,)( 21 ??? WNyyb tttt ?? ?),0(~,)( 21 ??? WNyyc tttt ?? ?（ 2）平穩(wěn)過程的 ACF與 PACF呈指數(shù)（或阻尼正弦波）衰減或截尾 . 非平穩(wěn)過程的 ACF一般呈線性緩慢衰減，PACF一般呈截尾