20xx年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——概率與統(tǒng)計-展示頁
2024-09-16 21:37本頁面
【正文】 ． ． ． ． ． ． ） 已知 5 只動物中有 1 只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗方法： 方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止． 方案乙：先任取 3 只，將它們的血液混在一起化驗．若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這 3 只中的1 只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外 2 只中任取 1只化驗． （ Ⅰ ）求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率； （ Ⅱ ） ? 表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求 ? 的期望． 解： （ Ⅰ ） 對于甲： 次數(shù) 1 2 3 4 5 概率 對于乙： 次數(shù) 2 3 4 概率 0. 2 0. 4 0. 2 0. 8 0. 2 1 0. 2 1 0. 64? ? ? ? ? ? ? ?． （ Ⅱ ） ? 表示依方案乙所需化驗次數(shù)， ? 的期望為 2 3 4 ? ? ? ? ? ? ? ?． 2.（ 全國二 18） ． （本小題滿分 12 分） 購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費 a 元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得 10 000 元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有 10 000 人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金 10 000 元的概率為 4101 ? ． （ Ⅰ ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率 p ； （ Ⅱ ）設(shè) 保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為 50 000 元，為保證盈利的期望不小于 0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費（單位：元）． 解： 4 各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是 p ，記投保的 10 000 人中出險的人數(shù)為 ? ， 則 4~ (10 )Bp? ， ． （ Ⅰ ）記 A 表示事件：保險公司為該險種至少支付 10 000 元賠償金，則 A 發(fā)生當且僅當 0?? ， 2 分 ( ) 1 ( )P A P A?? 1 ( 0)P ?? ? ? 4101 (1 )p? ? ? ， 又 410( ) 1 0. 99 9PA ?? ， 故 ? ． 12 分 3.（北京卷 17） ．（本小題共 13 分） 甲、乙等五名 奧運志愿者 被隨機地分到 A B C D， ， ， 四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者． （ Ⅰ ）求甲、乙兩人同時參加 A 崗位服務(wù)的概率； （ Ⅱ ）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率； （ Ⅲ ）設(shè)隨機變量 ? 為這五名志愿者中參加 A 崗位服務(wù)的人數(shù)，求 ? 的分布列． 解：（ Ⅰ ）記甲、乙兩人同時參加 A 崗位服務(wù)為事件 AE ，那么 332454 1() 40A APE CA??， 即 甲、乙兩人同時參加 A 崗位服務(wù)的概率是 140 ． 5 （ Ⅱ ）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件 E ，那么 442454 1() 10APE CA??， 所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是 9( ) 1 ( )10P E P E? ? ?． （ Ⅲ ）隨機變量 ? 可能取的值為 1， 2．事件“ 2?? ”是指有兩人同時參加 A 崗位服務(wù)， 則 23533454 1( 2 ) 4CAP CA? ? ? ?． 所以 3( 1 ) 1 ( 2 )4PP??? ? ? ? ?， ? 的分布列是 ? 1 3 P 34 14 4.（ 四川卷 18） ．（本小題滿分 12 分） 設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為 ，購買乙種商品的概率為 ，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。 【解】 ： 記 A 表示事件： 進入商場的 1 位顧客購買甲種商品， 記 B 表示事件： 進入商場的 1 位顧客購買乙種商品， 記 C 表示事件： 進入商場的 1 位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種， 記 D 表示事件： 進入商場的 1 位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種， （ Ⅰ ） C A B A B? ? ? ? ? ? ? ?P C P A B A B? ? ? ? ? ? ? ?P A B P A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P A P B P A P B? ? ? ? 0 .5 0 .4 0 .5 0 .6? ? ? ? ? （ Ⅱ ） D A B?? ? ? ? ?P D P A B?? 6 ? ? ? ?P A P B?? ?? ? ? ? ? ?1 0 . 8P D P D? ? ? （ Ⅲ ） ? ?3,? ，故 ? 的分布列 ? ? 30 0. 2 0. 00 8P ? ? ? ? ? ? 1231 0. 8 0. 2 0. 09 6PC? ? ? ? ? ? ? ? 2232 0. 8 0. 2 0. 38 4PC? ? ? ? ? ? ? ? 33 0. 8 0. 51 2P ? ? ? ? 所以 3 ? ? ? ? 5.（ 天津卷 18） （本小題滿分 12 分） 甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為 21 與 p ，且乙投球 2 次均未命中的概率為 161 ． （Ⅰ）求乙投球的命中率 p ； （Ⅱ）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率 ； （ Ⅲ ）若甲、乙兩人各投球 2 次，求兩人共命中 2 次的概率． 解： 本小題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．滿分 12 分． （Ⅰ）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件 A，“乙投球一次命中”為事件 B． 由題意得 ? ?? ? ? ? 16111 22 ???? pBP 解得 43?p 或 45 （舍去），所以乙投球的命中率為 43 ． 解法二：設(shè)設(shè)“甲投球一次命 中”為事件 A，“乙投球一次命中”為事件 B． 由題意得 1()() 16PBPB ? ，于是 1()4PB? 或 1() 4PB?? （舍去），故 31 ( ) 4p P B? ? ? ． 所以乙投球的命中率為 34 ． （Ⅱ）解法一：由題設(shè)和（Ⅰ）知 ? ? ? ? 21,21 ?? APAP ． 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率為 ? ? 431 ??? AAP 解法二： 7 由題設(shè)和（Ⅰ）知 ? ? ? ?21,21 ?? APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率為 ? ? ? ? ? ? ? ?4312 ?? APAPAPAPC （Ⅲ）由題設(shè)和（Ⅰ）
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