【正文】 4312 ?? APAPAPAPC （Ⅲ）由題設和（Ⅰ）知， ? ? ? ? ? ? ? ?41,43,21,21 ???? BPBPAPAP 甲、乙兩人各投球 2 次，共命中 2 次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中 2 次。 （Ⅱ）簽約人數(shù) ? 的分布列和數(shù)學期望 . 解 : 用 A， B， C 分別表示事件甲、乙、丙面試合格 .由題意知 A， B， C 相互獨立， 且 P（ A）＝ P（ B）＝ P（ C）＝ 12. （Ⅰ）至少有 1 人面試合格的概率是 3171 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) .28P A B C P A P B P C? ? ? ? ? ? （Ⅱ） ? 的可能取值為 0， 1， 2， 3. ( 0) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C? ? ? ? ? ＝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C?? ＝ 3231 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8? ? ? ( 1 ) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C? ? ? ? ? = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C?? = 3331 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8? ? ? 1( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P A B C P A P B P C? ? ? ? ? 1( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P A B C P A P B P C? ? ? ? ? 所以， ? 的分布列是 ? 0 1 2 3 P 38 38 18 18 ? 的期望 3 3 1 10 1 2 3 1 .8 8 8 8E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11.（ 陜西卷 18） ．（本小題滿分 12 分） 某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊 3 次，擊中目標即終止射擊，第 i 次擊中目標得 1~i ( 123)i?， ，分， 3次均未擊中目標得 0 分．已知某射手每次擊中目標的 概率為 ，其各次射擊結果互不影響． 12 （Ⅰ）求該射手恰好射擊兩次的概率； （Ⅱ）該射手的得分記為 ? ，求隨機變量 ? 的分布列及數(shù)學期望． 解： （Ⅰ）設該射手第 i 次擊中目標的事件為 ( 123)iAi? ， ， ，則 ( ) 0. 8 ( ) 0. 2iiP A P A??， ， ( ) ( ) ( ) 0. 2 0. 8 0. 16i i i iP A A P A P A? ? ? ?． （Ⅱ） ? 可能取的值為 0， 1， 2， 3． ? 的分布列為 0 0 .0 0 8 1 0 .0 3 2 2 0 .1 6 3 0 .8 2 .7 5 2E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 12.（ 重慶卷 18） （本小題滿分 13分，（Ⅰ）小問 5分，（Ⅱ）小問 8分 .） 甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽 ：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空 .比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿 6局時停止 .設在每局中參賽者勝負的概率均為 12 ，且各局勝負相互獨立 .求： （Ⅰ） 打滿 3局比賽還未停止的概率； （Ⅱ）比賽停止時已打局數(shù) ? 的分別列與期望 E? . 解：令 ,k k kA B C 分別表示甲、乙、丙在第 k局中獲勝 . （Ⅰ）由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿 3局比 賽還未停止的概率為 1 2 3 1 2 3 331 1 1( ) ( ) .2 2 4P A C B P B C A? ? ? ? （Ⅱ） ? 的所有可能值為 2， 3， 4， 5， 6，且 1 2 1 2 221 1 1( 2 ) ( ) ( ) ,2 2 2P P A A P B B? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 1 2 3 331 1 1( 3 ) ( ) ( ) .2 2 4P P A C C P B C C? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 1 2 3 4 441 1 1( 4 ) ( ) ( ) .2 2 8P P A C B B P B C A A? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 551 1 1( 5 ) ( ) ( ) ,2 2 1 6P P A C B A A P B C A B B? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 551 1 1( 6 ) ( ) ( ) ,2 2 1 6P P A C B A C P B C A B C? ? ? ? ? ? ? 故有分布列 ? 0 1 2 3 P ? 2 3 4 5 6 13 從而 1 1 1 1 1 4 72 3 4 5 62 4 8 1 6 1 6 1 6E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（局） . 13.（ 福建卷 20） （本小題滿分 12 分） 某項考試按科目 A、科目 B 依次進行，只有當科目 A 成績合格時，才可繼續(xù)參加科 目 B 的考試 .已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證 書 .現(xiàn)某人參加這項考試，科目 A 每次考試成績合格的概率均為 23，科目 B 每次考試 成績合格的概率均為 12 .假設各次考試成績合格與否均互不影響 . （Ⅰ）求他不需要補考就可獲得證書的概率； （Ⅱ）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為 ? ，求 ? 的數(shù)學期望 E? . 本小題主要考查概率的基本知識與分類思想 ,考查運用數(shù)學知識 分析問題 /解愉問題的能力 .滿分12分 . 解 :設“科目 A第一次考試合格”為事件 A，“科目 A補考合格”為事件 A2；“科目 B第一次考試合格”為事件 B，“科目 B補考合格”為事件 B. (Ⅰ )不需要補考就獲得證書的事件為 A118