線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分-展示頁(yè)
2024-09-13 08:09本頁(yè)面
【正文】 系統(tǒng)的描述 描述線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程 。 對(duì)于電系統(tǒng) ， 列寫(xiě)數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面 。iR(t)； (2)電感 L， (3)電容 C， (4)互感 (同、異名端連接 )、理想變壓器等原、副邊電 00( ) 1( ) , ( ) ( )tLL L L Ltd i tu t L i i t u dd t L ??? ? ? ?00( ) 1( ) , ( ) ( ) ( )tCC C C Ctd u ti t C u t u t i dd t C ??? ? ? ? 2. 結(jié)構(gòu)約束 KCL與 KVL 下面舉例說(shuō)明。 iS( t )iC( t )u1( t )iL( t )R2R1L＋－ 解 由 KVL， 列出電壓方程 1222112 21( ) ( ) ( ) ( )()()1 ( ) ( ) ( )()C L LLLLLu t u t u t R i tdi tL R i tdtdi t di t di tu t L RR C dt dt dt? ? ???? ? ?對(duì)上式求導(dǎo)，考慮到 11()( ) ( ) ( )CCCd u ti t C R i t u tdt?? 根據(jù) KCL， 有 iC(t)=iS(t)iL(t)， 因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)iL(t)) 212 221 2 121 ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( )( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( )S L L LSLL L SLSdi t di t d i t di ti t i t R L RC dt dt dt dtd i t R R di t R di ti t i tdt L dt L C L dt L C? ? ? ? ??? ? ? ? 整理上式后 ， 可得 221 1 2 1 1 21122( ) ( ) 1 ( ) ( )() SSd i t R R d i t d i t R R d i ti t Rd t L d t L C d t L d t?? ? ? ? (1)解得的數(shù)學(xué)模型 ， 即求得的微分方程的階數(shù)與動(dòng)態(tài)電路的階數(shù) (即獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù) )是一致的 。 這表明，同一系統(tǒng)當(dāng)它的元件參數(shù)確定不變時(shí)，它的自由頻率是唯一的。該方程的全解由齊次解和特解組成。非齊次方程的特解用 yp(t)表示。 如果幾個(gè)特征根都互不相同(即無(wú)重根 )， 則微分方程的齊次解 (2) 特征根有重根 。 即 λ 1, 2=a177。 即共有 m 重λ 1,2=a177。下表列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù) f(t)及其所對(duì)應(yīng)的特征解 yp(t)。 激勵(lì)函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的解 3. 根據(jù)上節(jié)所講 ， 完全解是齊次解與特解之和 ， 如果微分方程的特征根全為單根 ， 則微分方程的全解為 1( ) ( )intipiy t c e y t????? 當(dāng)特征根中 λ 1為 γ 重根 ， 而其余 (nγ) 個(gè)根均為單根時(shí) ， 方程的全解為 111( ) ( )int ti i pijy t c t e c e j y t??????? ? ?? ? ??? 如果微分方程的特征根都是單根 ， 則方程的完全解為上式 ， 將給定的初始條件分別代入到式上及其各階導(dǎo)數(shù) ， 可得方程組 y(0)=c1+c2+…++yp(0) y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λn+y′p(0) … y(n1)(0)=λn1 1c1+ λn1 2c2+…+λn1 n+y(n1)p(0) 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性非時(shí)變系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 。 這樣 ， 線性非時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和 ， 即 y(t)=yx(t)+yf(t) 在零輸入條件下 ， 式 (2― 7)等式右端均為零 ， 化為齊次方程 。 若系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零 ， 亦即初始狀態(tài)為零 ， 這時(shí)式 (2― 7)仍為非齊次方程 。 系統(tǒng)的完全響應(yīng)即可分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng) ，也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ， 它們的關(guān)系為 ： 1 1 1( ) ( ) ( )i i in n nt t ti p xi f i pi i iy t c e y t c e c e y t? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?式中 1 1 1i i in n nt t ti xi f ii i ic e c e c e? ? ?? ? ???? ? ? 在電路分析中 ， 為確定初始條件 ， 常常利用系統(tǒng)內(nèi)部?jī)?chǔ)能的連續(xù)性 ， 即電容上電荷的連續(xù)性和電感中磁鏈的連續(xù)性 。 若換路發(fā)生在 t=t0時(shí)刻 ， 有 0000( ) ( )( ) ( )CCCLu t u ti t i t????? ???? 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 沖激響應(yīng) 一線性非時(shí)變系統(tǒng) ， 當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí) ， 輸入為單位沖激信號(hào) δ(t) 所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng) ， 簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng) ， 用 h(t)表示 。 其示意圖如下圖所示 。 根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)。 解 根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng) h(t)的定義 ， 當(dāng) f(t)=δ(t) 時(shí) ，即為 h(t)， 即原動(dòng)態(tài)方程式為 由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖
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