【正文】 β 的法向量必須是由平面 β 內(nèi)的一點(diǎn)指向二面角的內(nèi)部，如圖 21，否則從二面角內(nèi)部一點(diǎn)出發(fā)向兩個(gè)半平面作法向量時(shí)，二面角 12,nn??? ? ? ?，如圖 22) E A B C D A1 B1 C1 D1 y x z 6 二面角 ?? ??? 的大小 ? ( 如右圖 ) ， 也可用兩個(gè)向量所成的夾角表示， 在 ? 、 ? 上分別作棱 ? 的垂線 AB 、 CD ( A 、 ??C ) ，從圖中可知： ? 等于 AB 、 CD 所成的角 . 【 例 3】 三棱柱 111 BAOOAB ? ， 11O B B O O A B?平 面 平 面， ??? 601OBO ，??? 90AOB 且 21 ??OOOB ， 3?OA ， 求：二面角 OABO ??1 的余弦值大小 . 【 分析 】 以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以 OA 、 OB 所在直線為 x 、 y 軸，過 O 且 與平面 AOB 垂直的直線為 z 軸， 建立直角坐標(biāo)系，則 ? ?0,0,0O 、 ? ?3,1,01O 、 ? ?0,0,3A 、 ? ?0,2,0B . 作 ABOH? 、 ABHO ?11 ，結(jié)合 H 、 1H 在 AB 上 ，算得 4 3 6, , 077OH ??? ????，11 2 3 3O H , , 377????????，從而算得 ,，即為所求 . 【 例 4】 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐 S ABCD? 中，// ,AD BC 90 ,ABC?? 11, , 1 ,22S A A B C D S A A B B C A D? ? ? ? ?面 . 求：側(cè)面 SCD 與面 SBA 所成的二面角的余弦值大小。s thinking is often an important reason for delay is the vector of algebraic and geometric style ﹑ coordinates of these three operations, said the lack of an overall grasp of the form, it should be to guide students in solving puting vector operations to achieve an effective form of inter conversion. The use of transformation equations some lines of bination mathematical ideas to realize the form of vector operations between the effective conversions. Allow students to use the bination of abstract thinking and thinking in images, through to help shape the number of and the number of solutionshaped so that simplify plex problems, abstract the problem specific, and thus serve the purpose of 3 optimization problemsolving approach. But the survey shows that the negative by the traditional mathematical knowledge transfer, either for mastery of basic knowledge of vector, or vector used to promote, or even the teaching of vector is a difficult task in the future. This paper attempts to in these three areas to make some more indepth the collation and research. To enhance the role of the vector of instrumental knowledge, promote vector method. [Key words] Vector is vertical Share line It is parallel Method is analyses Illustration explains Raise space imagination Effective channel 一、預(yù)備知識(shí) 用向量解決立體幾何中距離和角的問題 例談法向量在立體幾何中的應(yīng)用 與平行有關(guān)的探索性問題 與角有關(guān)的探索性問題 與距離有關(guān)的探索性問題 二、例證說明 以具體的例子來闡述怎樣運(yùn)用向量解決角與距離問題 ① 異面直線 a 、 b 的距離 可先設(shè) a 、 b 的公垂線段 EF ( aE? 、 bF? ) ，再由垂直向量性質(zhì) 4 得 00a EFb EF? ????????，從而得到 E 、 F 的坐標(biāo)，最后算出所求 EF . 【 例 1】 正方體 1111 DCBAA B C D ? 的邊長(zhǎng) 為 1，求異面直線 CA1 、 BD 的距離？ 【 分析 】 從正方體條件得，運(yùn)用坐標(biāo)向 量的方法較好 .建立直角坐標(biāo)系， 設(shè) EF 是所求的公垂線， 令 BE =? BD 、 11AF kAC? ， 則 BE =? ( 1? ， 1 ， 0 ) ， E 的坐標(biāo)為 ( 1?? ， ? ， 0 ) ，同理 ? ?kkkF ?1, ，再由 0EF BD??、 1 0EF AC??，算得 21?? 、 32?k ， 最后算出 EF 、 66EF? . 在此題中，求垂足 E 的坐標(biāo)的方法和例 1中求垂足 H 的方法相同，都是先根據(jù)向量共線性質(zhì) ( ba?? ) 設(shè)得 E 的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量垂直性質(zhì) ( 0bc?? ) 列式，最后算出 ? ，從而得到 E 坐標(biāo) .這個(gè)方法不但能求出直線 上的點(diǎn)的坐標(biāo)，也能求出空間向量的表示式，是向量運(yùn)用中常用的一個(gè)小技巧 . ② 點(diǎn) P 到平面 ? 的距離 h 先設(shè)平面 ? 的斜線為 PA ? ???A ，再求 ? 的法向量 n ，運(yùn)用向量平移， 不難得到推論 “ h 等于 PA 法向量 n 上的射影 nPAn?的絕對(duì)值 ” ，即 PAnhn?? ，最后由此算出所求距離 . 【 例 2】 正四棱柱 1111 DCBAABCD ? ， 1?AB ， 21?AA ， E 是 1CC 的B C D A C1 D1 A y x z E F 5 中點(diǎn)， 求點(diǎn) 1D 到平面 BDE 的距離 . 【 分析 】 如圖建立直角坐標(biāo)系，得各 點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面 BDE 的法向量為 n =( , , )x yz 由 00n DEn DB? ????????，得??? ?? ?? 00yx zy； 令 1?y ，得法向量 ( 1,1, 1)n? ? ? ∴ 1DE在 n 上的投影為1 233nDE n??， ∴ 點(diǎn) 1D 到平面 BDE 的距離為 332 . 此類題目，是在立體幾何學(xué)習(xí)中的必須解決的 重點(diǎn)題和難題，傳統(tǒng)的解題方法很多，也很復(fù)雜。讓學(xué)生利用抽象思維與形象思維結(jié)合，通過 “ 以形助數(shù) ” 和 “ 以數(shù)解形 ” ，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。在 向量運(yùn)算中，學(xué)生思維受阻的一個(gè)重要原因往往是對(duì)向量的代數(shù)式﹑坐標(biāo)式和幾何表示這三種運(yùn)算形式缺少整體的把握，所以在運(yùn)算求解時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算形式相互間的有效轉(zhuǎn)換。 目錄 摘 要 ................................................... 1 關(guān)鍵詞 .................................................. 1 一、預(yù)備知識(shí) ............................................ 3 二、例證說明 ............................................ 3 以具體的例子來闡述怎樣運(yùn)用向量解決角與距離問題 ...... 3 用具體的例子來說明用向量解決角的問題 ............... 5 用具體的例子來看法向量的應(yīng)用 ....................... 7 用具體例子說明向量與平行有關(guān)的探索性問題 .......... 10 用具體例子說明向量與角有關(guān)的探索性問題 ............ 11 用具體例子來說明向量與距離有關(guān)的探索性問題 ........ 13 參考文獻(xiàn) : .............................................. 14 1 向量在立體幾何中教與學(xué)的探究 [摘 要 ] 向量既是 “ 代數(shù) ” 的，又是 “ 幾何 ” 的，向量從運(yùn)算的角度促進(jìn)了代數(shù)和幾何的聯(lián)系，也促進(jìn)了 “ 數(shù) ” 與 “ 型 ” 的結(jié)合，所以整體把握知識(shí)點(diǎn)的基本結(jié)構(gòu)，理解和掌握向量的多種運(yùn)算形式，有助于學(xué)生更好地記憶知識(shí)進(jìn)而運(yùn)用知識(shí)。運(yùn)用轉(zhuǎn)化﹑方程﹑數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算形式相互間的有效轉(zhuǎn)化。 四 研究方法 : 本文嘗試在對(duì)向量的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，向量運(yùn)用的推廣，對(duì) 向量教學(xué) 的探討這三個(gè)方面作一些較深入的整理和研究．以加深對(duì)向量的工具性作用的認(rèn)識(shí)，推廣向量法． 五 論文結(jié)構(gòu) : 一、摘要 二、預(yù)備知識(shí) 三、例題證明 四、小結(jié) 五、參考文獻(xiàn) 六 撰寫計(jì)劃 : 充分運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)思想，尋求向量靈活多樣的運(yùn)算思路，深入挖掘題目中的隱含條件，尋找與設(shè)計(jì)立體圖形運(yùn)用向量合理﹑簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。 定西師范高等?？茖W(xué)校 10 級(jí) 數(shù)學(xué) 系畢業(yè)論文開題報(bào)告 專業(yè)班級(jí) : 數(shù)學(xué)教育四班 姓名 : 指導(dǎo)教師 : 一 論文題目 : 向量在立體幾何中教與學(xué)的探究 二 選題依據(jù) : 向量既是 “ 代數(shù) ” 的，又是 “ 幾何 ” 的，向量從運(yùn)算的角度促進(jìn)了代數(shù)和幾何的聯(lián)系，也促進(jìn)了 “ 數(shù) ” 與 “ 型 ” 的結(jié)合，所以整體把握知識(shí)點(diǎn)的基本結(jié)構(gòu)，理解和掌握向量的多種運(yùn)算形式，有助于學(xué)生更好地記憶知識(shí)進(jìn)而運(yùn)用知識(shí)。 三 相關(guān)理論研究綜述 : 向量從運(yùn)算的角度促進(jìn)了代數(shù)和幾何的聯(lián)系，也促進(jìn)了 “ 數(shù) ” 與“ 型 ” 的結(jié)合，所以整體把握知識(shí)點(diǎn)的基本 結(jié)構(gòu)，理解和掌握向量的多種運(yùn)算形式，有助于學(xué)生更好地記憶知識(shí)進(jìn)而運(yùn)用知識(shí)。在向量運(yùn)算中，學(xué)生思維受阻的一 個(gè)重要原因往往是對(duì)向量的代數(shù)式﹑坐標(biāo)式和幾何表示這三種運(yùn)算形式缺少整體的把握，所以在運(yùn)算求解時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算形式相互間的有效轉(zhuǎn)換。讓學(xué)生利用抽象思維與形象思維結(jié)合，通過 “ 以形助數(shù) ” 和 “ 以數(shù)解形 ” ，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的 。充分運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)思想，尋求向量靈活多樣的運(yùn)算思路，深入挖掘題目中的隱含條件，尋找與設(shè)計(jì)立體圖形運(yùn)用向量合理﹑簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。運(yùn)用轉(zhuǎn)化﹑方程﹑數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算形式相互間的有效轉(zhuǎn)化。 但調(diào)查表明受傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)的負(fù)遷移，無論是對(duì)向量的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還是向量運(yùn)用的推廣，甚至對(duì) 向量教學(xué) 的探討都是今后一個(gè)艱難的課題．本文嘗試在這三個(gè)方面 作一些較深入的整理和研究．以加深對(duì)向量的工具性作用的認(rèn)識(shí)，推廣向量法． [關(guān)鍵詞 ] 向量的垂直 共線 平行 方法分析 例證說明 提高空間想象力 有效途徑 [Abstract] The vector is a algebra, and another is geometry, 2 and vector from a puting point of view of algebra and geometry for the link, but also to promote the number and type bination, the overall grasp of the basic structure of knowledge points to understand and master a variety of vector operation forms, can help students to better memory of knowledge and then apply knowledge. Make full use of the mathematical ideas, seeking flexible puting vector ideas, dig the title of the implied condition that the use of search and design of threedimensional vector graphics and reasonable puting ﹑ simple way. In the vector operation, the student39。運(yùn)用平面法向量的知識(shí)，能直接算出所求距離，避免繁復(fù)的邏輯推理。 解 ： 以 A 為原點(diǎn)如