立體幾何中的向量方法求夾角-展示頁
2025-06-25 12:13本頁面
【正文】 ???－a2， 0 ， 0 ， 所以 M????????－a4，34a ， 0 ， 又因為 C??????a2， 0 ， 0 ， 所以 CM→＝????????－34a ，34a ， 0 ， 所以 c os 〈 AC1→， CM→〉＝AC1→AB1→| n | BD→＝－ 2 ＋ 2 ＋ 0 ＝ 0 ， AB1→A D→＝ 0 ，n 如圖 ， 向量 ， 則二面角 的大小 ＝ 〈 〉 ?? ?? mn ?? ，?? ??l ? nm??,nm ,?? ??二面角 若二面角 的大小為 , 則 l???? (0 )? ? ???co s .uvuv???②法向量法 ??lB D C A (1)范圍 : (2)二面角的向量求法 : ① 若 AB、 CD分別是二面角 的兩個面內(nèi)與棱 l垂直的異面直線 ,則二面角的大小就是向量 與 的夾角 (如圖(1)) ② 設(shè) 是二面角 的兩個面 的法向量 ,則向量 與 的夾角 (或其補角 )就是二面角的平面角的大小 (如圖 (2)) [0, ]?l????AB CDl???? ,??12,nn1n 2nl1n??2n(1) (2) 例 2 正三棱柱 中 ， D是 AC的中點 ， 當 時 ， 求二面角 的余弦值 。ZPZ 空間“角度”問題 設(shè)直線 ,lm 的方向向量分別為 ,ab l a?m l a?m b?? ?若兩直線 所成的角為 , 則 ,lm ( 0 )2???≤ ≤ co sabab???復(fù)習引入 (1)定義 :設(shè) a,b是兩條異面直線 ,過空間任一點 O作直線a ′∥ a, b ′∥ b,則 a ′, b ′所夾的銳角或直角叫 a與 b所成的角 . (2)范圍 : (3)向量求法 :設(shè)直線 a、 b的方向向量為 ,其夾角 為 ,則有 (4)注意 :兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角求得 ,當兩方向向量的夾角是鈍角時 ,應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角 . (0, ]2?,ab||c o s | c o s || | | |abab?? ?????空間三種角的向量求解方法 例 2 09 0 ,R t A B C B C A A B C??中 ， 現(xiàn) 將 沿 著1 1 1A B C A B C?平 面 的 法 向 量 平 移 到 位 置 ， 已 知1B C C A C C?? ， 1 1 1 1 1 1A B A C D F取 、 的 中 點 、 ，11B D A F求 與 所 成 的 角 的 余 弦 值 .A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以點 C為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示，設(shè) 則： C xyz?1 1CC ?( 1 , 0 , 0 ) , (0 , 1 , 0 ) ,AB111 1 1( , 0 , ) , ( , , 1 )2 2 2F a D所以： 11( , 0 , 1 ) ,2AF ??111( , , 1 )22BD ??11c o s ,A F B D?? 1111| || |A F B DA F B D?A1AB1B
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