【正文】 處右極限值， ? ?00 ?xf 稱為 ??xf 在 0x 處左極限值。 1． 2 極限 甲 內(nèi)容要點 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 8 一．極限的概念與基本性質(zhì) 1．極限的定義 （ 1） Axnn ???lim （稱數(shù)列 ??nx 收斂于 A ） 任給 0?? ，存在正整數(shù) N ，當 Nn? 時，就有 ???Axn 。證明： ? ? ? ? ? ???? x dttfFxF00， f 為奇函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??????? x x udufFdttfFxF0 000 ? ? ? ? ? ?? ??? x xFduufF00 ??xF? 為偶函數(shù)。 （ D）若 ??xf 為單調(diào)函數(shù)，則 ??xF 為單調(diào)函數(shù)。 （ B）若 ??xf 為偶 函數(shù)，則 ??xF 為奇函數(shù)。 乙 典型例題 一．求函數(shù)的定義域 例 1．求函數(shù) ? ? 2100lnlnln xxxf ??? 的定義域 例 2．求5ln 1???? xxxy的定義域 例 3．設 ??xf 的定義域為 ? ?? ?0, ?? aaa ，求 ? ?12?xf 的定義域 例 4．設 ? ???? ?? ??? 42 ,2 20 ,1 xxxg 求 ? ? ? ? ? ?12 ??? xgxgxf 的定義域，并求 ??????23f。） 4．周期性： 設 ??xf 在 X 上有定義，如果存在常數(shù) 0?T ，使得任意 Xx? ， XTx ?? ，都有 ? ? ? ?xfTxf ?? ，則稱??xf 是周期函數(shù)，稱 T 為 ??xf 的周期。 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 5 3．單調(diào)性： 設 ??xf 在 X 上有定義，若對任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱 ??xf在 X 上是單調(diào)增加的 [單調(diào)減少的 ]；若對任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱 ??xf 在 X 上是單調(diào)不減 [單調(diào)不增 ]。 四．考研數(shù)學中常出現(xiàn)的非初等函數(shù) 1．用極限表示的函數(shù) （ 1） ? ?xfynn ??? lim （ 2） ? ?xtfyxt ,lim?? 2．用變上、下限積分表示的函數(shù) （ 1） ? ?dttfy x??0，其中 ??tf 連續(xù)，則 ? ?xfdxdy? （ 2） ? ?? ?? ? dttfy xx?? 21??，其中 ??x1? ， ??x2? 可導， ??tf 連續(xù)， 則 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?xxfxxfdxdy1122 ???? ???? 五．函數(shù)的幾種性質(zhì) 1．有界性： 設函數(shù) ? ?xfy? 在 X 內(nèi)有定義，若存在正數(shù) M ，使 Xx? 都有 ? ? Mxf ? 則稱 ??xf 在 X 上是有界的。其中 u 稱為中間變量。就需要關(guān)于 xy arctan? ， xey? ， xy ln? 的圖象很清晰。 關(guān)于基本初等函數(shù)的概念，性質(zhì)及其圖象非常重要，影響深遠。有時也用 ? ?xfy 1?? 表示，例如 ? ?0,2 ?? xxy 解出 yx? ， ? ?0?y 而 ? ?02 ?? xxy 解出 ? ?0??? yyx 二．基本初等函數(shù) 1．常值函數(shù) cy? （常數(shù)） 2．冪函數(shù) ?xy? （ ? 常數(shù)） 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 3 3．指數(shù)函數(shù) xay? ( 0?a , 1?a 常數(shù) ) xey? （ ??e ，無理數(shù)） 4．對數(shù)函數(shù) xy alog? （ 1,0 ?? aa 常數(shù)） 常用 對數(shù) xxy lglog 10 ?? 自然對數(shù) xxy e lnlog ?? 5．三角函數(shù) xy sin? ； xy cos? ； xy tan? ； xy cot? ； xy sec? ； xy csc? 。 又 ? ???? ?? ??? 0, 0, xx xxxxf， ? ????????????0,10,00,1s g nxxxxxf ，都是分段函數(shù) 3．隱函數(shù) 形如 ? ?xfy? 的函數(shù)稱為顯函數(shù)，由方程 ? ? 0, ?yxF 確定 ? ?xyy? 稱為隱函數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)，例如 122 ??yx ， 21 xy ??? ，（不一定一個單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。 7． 4 曲面積分（數(shù)學一） 第八章 無窮級數(shù) （數(shù)學一和數(shù)學三） 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 167。 7． 2 三重積分 167。這次基礎班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其內(nèi)容安排如下： 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)（全體） 第二章 一元函數(shù)微分學（全體） 第三章 一元函數(shù)積分學（全體） 常微分方程（全體） 第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何（ 數(shù)學一） 第六章 多元函數(shù)微分學（全體） 第七章 多元函數(shù)積分學 167。 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 1 2020 考研數(shù)學基礎班 高等數(shù)學講義 主講：汪成議 引言 我們根據(jù)考研數(shù)學的考試大綱和歷年真題，歸納出所需的數(shù)學概念、方法和技巧分為（甲）內(nèi)容要點和（乙）典型例題兩大部分來體現(xiàn)。又分為基礎班、強化班和沖刺班三個階段。 7． 1 二重積分（全體） 167。 7． 3 曲線積分 167。 1． 1 函數(shù) 甲 內(nèi)容要點 一．函數(shù)的概念 1．函數(shù)的定義 設 D 是一個非空的實數(shù)集，如果有一個對應規(guī)則 f ，對每一個 Dx? ，都能對應唯一的一個實數(shù) y ，則這 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 2 個對應規(guī)則 f 稱為定義在 D 上的一個函數(shù)，記以 ? ?xfy? ，稱 x 為函數(shù)的自變量， y 為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，D 稱為函數(shù)的定義域，并把實數(shù)集 ? ?? ?DxxfyyZ ??? , 稱為函數(shù)的值域 2．分段函數(shù) 如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個表達式表示，而要用兩個或兩個以上的表達式來表示。 例如 ? ???????????????1511112xxxxxxxfy 是一個分段函數(shù)，它有兩個分段點， 1??x 和 1?x ，它們兩側(cè)的函數(shù)表達式不同，因此討論函數(shù) ? ?xfy?在分段點處的極限、連續(xù)、導數(shù)等問題時，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導數(shù)，需要強調(diào)：分段函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個定理。 4．反函數(shù) 如果 ? ?xfy? 可以解出 ? ?yx ?? 是一個函數(shù)（單值）則稱它為 ??xf 的反函數(shù)，記以 ? ?yfx 1?? 。 6．反三角函數(shù) xy arcsin? ； xy arccos? ； xy arctan? ； xarcy cot? 。例如以后經(jīng)常會用 xx arctanlim???；xx arctanlim??? ； xx e10lim?? ； xx e10lim?? ； xx lnlim0?? 等等。 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 4 三．復合函數(shù)與初等函數(shù) 1．復合函數(shù) 設 ? ?ufy? 定義域 U ? ?xgu? 定義域 X ，值域 *U 如果 UU?* ，則 ? ?? ?xgfy? 是定義在 X 上的一個復合函數(shù)。 2．初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合所構(gòu)成的用一個分析表達式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。 2．奇偶性： 設 區(qū)間 X 關(guān)于原點對稱，若對 Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ??? ，則稱 ??xf 在 X 上是奇函數(shù)；若對 Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ?? ，則稱 ??xf 在 X 上是偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點 對稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱。 （注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。 由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，一般我們把其 中最小正周期稱為周期。 二．求函數(shù)的值域 例 1．求 3 3 11?? xey 的值域 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 6 例 2．求 ? ?? ??????????????????2,2122,52,323xxxxxxxfy 的值域，并求它的反函數(shù) 三．求復合函數(shù)有關(guān)表達式 1．已知 ??xf 和 ??xg ，求 ??? ?xgf 例 1．已知 ? ? 1?? xxxf ，求 ? ? ?????? ?11xff 例 2．設 ? ?21 xxxf ?? ，求 ? ?? ?? ? ? ? 重復合nxfxfff n?? 例 3．設 ? ???? ???? 2,0 2,4 2 xxxxf ，求 ??? ?xff 2．已知 ??xg 和 ??? ?xgf ，求 ??xf 例 1．設 ? ? xeeef xxx ???? 21 ，求 ??f 例 2．已知 ? ? xx xeef ??? ，且 ?? 01?f ，求 ??xf 例 3．設 ? ? xxf sin? ，求 ??xf? 例 4．已知 ? ? xxf 2co s3s in ?? ，求證 ? ? xxf 2co s3co s ?? 3．已 知 ??xf 和 ??? ?xgf ，求 ??xg 例．已知 ? ? ? ?xxf ?? 1ln ， ? ?? ? xxgf ? ，求 ??xg 解： ? ? ? ?xfxg 1?? 實際上為求反函數(shù)問題 ? ?? ? ? ?? ? xxgxgf ??? 1ln ， ? xexg ??1 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 7 ? ? 1?? xexg 4．有關(guān)復合函數(shù)方程 例．設 ? ? xxfxxf 2311 ???????? ??，求 ??xf 四．有關(guān)四種性質(zhì) 例 1．設 ? ? ? ?xfxF ?? ，則下列結(jié)論正確的是 [ ] （ A）若 ??xf 為奇函數(shù)，則 ??xF 為偶函數(shù)。 （ C）若 ??xf 為周期函數(shù)，則 ??xF 為周期函數(shù)。 解：（ B）不成立，反例 ? ? 2xxf ? ， ? ? 133 ?? xxF （ C）不成立，反例 ? ? 1cos ?? xxf ， ? ? xxxF ?? sin （ D）不成立，反例 ? ? xxf 2? ， ? ? 2xxF ? 在 ? ????? , 內(nèi) （ A）成立。 例 2．求 ? ? ? ?? ?dxxxeexxI xx 1ln11 25?? ? ????? 167。 （ 2） ? ? Axfx ????lim 任給 0?? ，存在正整 X ，當 Xx? 時，就有 ? ? ???Axf 。 有時我們用 ? ? Axf ?lim 表示上述六類函數(shù)的極限 ，它具有的性質(zhì)，上述六類函數(shù)極限皆具有這種性質(zhì)，有時我們把 ? ?nfxn ? ，把數(shù)列極限也看作這種抽象的變量的極限的特例，以便于討論。 定理 4．設 ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxg ?lim 則（