【文章內(nèi)容簡介】 2coslim? 三．用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解：令 nnxn 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 ， 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 。 例 2．求下列極限 ???? ?nkn kn1 21lim 四．用洛必達(dá)法則求極限 1．“ 00 ”型和“ ?? ”型 例 1．求nnnn 1sin1sin1lim3??? 解：離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故考慮 3030 s inlims in s inlim x xxx xx xx ?? ?? 等價無窮小代換 616s inlim3 c o s1lim020 ???? ?? xxx x xx ?原式 61? 例 2．求10102limxexx?? 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 16 2．“ ??? ”型 和“ ??0 ”型。 例 1．求 ?????? ??? 111lim0 xx ex 例 2．求 ???????? ?? 2220 c o ss in1lim x xxx 例 3．求 xxx lnsinlim 20 ??? 例 4．設(shè) 0?a ， 0?b 常數(shù)，求 ???????? ???? xxx bax11lim 3．“ ?1 ”型，“ 0 ”型和“ 0? ”型 這類都是 ? ?? ? ? ?xgxflim 形式，可化為 ? ? ? ?? ?xfxge lnlim 而 ? ? ? ?? ?xfxg lnlim 都是“ ??0 ”型 ，按 2 的情形處理 例 1．求 xx x 2sin0lim?? 例 2．求 ? ? xx x 2cot0 coslim? （前面已用重要公式的方法） 解：令 ? ? xxy 2cotcos? ， xxy co slnco tln 2? 2020200 c o slnl i mt a nc o slnl i mc o slnc o tl i mlnl i m x xxxxxy xxxx ???? ??? （“ 00 ”型） = 212tanlim0 ???? x xx， ? 210lim?? ?eyx 例 3．求 xx xx ?????? ???1c o s1s inlim 五．用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 17 例 1．求 1s in13 1lim 23 2 ?? ???? nnnnn 解： ? 013111lim13 1lim3 323 2?????? ?? ????nnnnnnnnn， 11sin 2 ??n ， 根據(jù)有界變量乘無窮小仍是無窮小，可知原式 0? 例 2．求 ? ?? ? ? ?xxe xxxx 5s in21ln1 3a r c ta n2c o s1lim 0 ???? 例 3．求 ? ? ? ?xx xxxx ???? 1lnc o s11c o ss in3lim20 解：這個極限雖是“ 00 ”型，但分子，分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在，因此不能用洛必達(dá)法則。 原式 ? ?231ln1c oss in3c os11lim0 ????????????????? ?xxxxxxxx 例 4．設(shè) n 為正整數(shù)，求 ? ?x xxxn nnx c o s111lim 20 ?????? 六．求分段函數(shù)的極限 例 1．求下列函數(shù)在分段點(diǎn) 處的極限 （ 1） ? ????????????0 ,c o s10 ,2s in2xxxxx xxf （ 2） ? ??????????????1 ,211 ,1122xxxxxxg 解：（ 1） ? ? 22 2s in2lim2s inlim0000 ????? ?? ?? xxx xfxx 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 18 ? ? 221limc o s1lim00 22020 ????? ?? ?? xxxxfxx ? ? 2lim0 ?? ? xfx （ 2） ? ? ? ? 21lim11lim01121 ????????? ?? xxxgxx ? ?2321lim01 21 ??????? ??? ?? xg x 因?yàn)?? ? ? ?0101 ??? gg ，故 ? ?xgx 1lim?不存在。 例 2．求?????????????? xxeexxxs in12lim410 七．求極限的反問題 例 1．設(shè) ? ? 31s inlim 221 ????? xbaxxx 求 a 和 b 例 2．設(shè) 1s in1lim 0 20 ??? ?? xx dttatxbx，求 a 和 b 。 167。 1． 3 連續(xù) 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一． 函數(shù)連續(xù)的概念 1．函數(shù)在點(diǎn) 0x 處連續(xù) 定義 1．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量 x? （初值為 0x ）趨近于 0 時，相應(yīng)的函數(shù)改變量 y? 也趨近于 0 ，即 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 19 0lim0 ???? yx 或 ? ? ? ?? ? 0lim 000 ?????? xfxxfx 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)。 函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)也可作如下定義。 定義 2．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 的某個領(lǐng)域內(nèi) 有定義，如果當(dāng) 0xx? 時，函數(shù) ??xf 的極限值存在，且等于 0x 處的函數(shù)值 ? ?0xf ，即 ? ? ? ?00lim xfxfxx ?? 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，此時有 ? ? ? ? ? ?000 limlim xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 并且有 ? ? ? ? ? ?00 limlim 0 xxxx xfxfxf ?? ?? 即如果函數(shù)在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，則在點(diǎn) 0x 處可以交換極限號和函數(shù)號的順序。 定義 3．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? ，如果 ? ? ? ?00lim xfxfxx ???，則稱函數(shù) ??xf 在點(diǎn) 0x 處左連續(xù)；如果 ? ? ? ?00lim xfxfxx ???，則稱函數(shù) ??xf 在點(diǎn) 0x 處右連續(xù)。 由上述定義 2 可知，如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，則 ??xf 在 0x 處既左連續(xù)也右連續(xù)。 2．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 ??xf 在 ? ?ba, 內(nèi)連續(xù)。 如果 ? ?xfy? 在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn) a 右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn) b 左連續(xù)，則稱 ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)。 二．函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 1．函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 不連續(xù)，則稱 0x 為 ??xf 的間斷點(diǎn)。 2．函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 20 函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類： （ 1）第一類間斷點(diǎn) 設(shè) 0x 是函數(shù) ? ?xfy? 的間斷點(diǎn)。如果 ??xf 在間斷點(diǎn) 0x 處的左、右極限都存在，則稱 0x 是 ??xf 的第一類間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。 （ 2）第二類間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。 例如． 0?x 是 ? ? xxxf sin? 的可去間斷點(diǎn)，是 ? ? xxxf ? 的跳 躍間斷點(diǎn)，是 ? ? xxf 1? 的無窮間斷點(diǎn)，是? ? xxf 1sin? 的振蕩間斷點(diǎn)。 三．初等函數(shù)的連續(xù)性 1．在區(qū)間 I 連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零），在區(qū)間 I 仍是連續(xù)的。 2．由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。 3．在區(qū)間 I 連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對應(yīng)區(qū)間仍 連續(xù)且單調(diào)。 4．基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。 5．初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。 四．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)的函數(shù) ??xf ，有以下幾個基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。 定理 1．（有界定理）如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則 ??xf 必在 ? ?ba, 上有界。 定理 2．（最大值和最小值定理）如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值 M和最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定義如下： 定義 設(shè) ? ? Mxf ?0 是區(qū)間 ? ?ba, 上某點(diǎn) 0x 處的函數(shù)值，如果對于區(qū)間 ? ?ba, 上的任一點(diǎn) x ，總有? ? Mxf ? ，則稱 M 為函數(shù) ??xf 在 ? ?ba, 上的最大值。同樣可以定義最小值 m 。 定理 3．（介值定理）如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 ? ?ba, 上至少存在一 個 ? ，使得 ? ? cf ?? 推論：如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且 ??af 與 ??bf 異號，則在 ? ?ba, 內(nèi)至少存在一個點(diǎn) ? ，使得 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 21 ? ? 0??f 這個推論也稱為零點(diǎn)定理 思考題：什么情況下能保證推論中的 ? 是唯一的？ 乙 典型例題 一．討論函數(shù)的連續(xù)性 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)的，所以，函數(shù)的連續(xù)性討論多是指分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時，需根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。 例 1．討論函數(shù) ? ????????????0,1s in0,00,1xxxxxexfx 在點(diǎn) 0?x 處的連 續(xù)性。 解： 因 ? ? ? ? 0limlim00 100 ???? ?? ?? xxx exff ? ? ? ? 01s inlimlim00 00 ???? ?? ?? xxxff xx ? ? 00 ?f 即有 ? ? ? ? ? ?00000 fff ???? ，故 ??xf 在點(diǎn) 0?x 連續(xù)。 例 2．討論函數(shù) ? ?? ????????????????0 ,110 ,210 ,1lnxxxxxxxxf 在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性。 二．已知函數(shù)的連 續(xù)性求未知參數(shù) 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 22 例 1．設(shè) ? ?????????0 0s inxkxx