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正文內(nèi)容

20xx考研數(shù)學(高數(shù)基礎(chǔ))(編輯修改稿)

2024-09-26 19:04 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 2coslim? 三.用夾逼定理求極限 例 1.求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解:令 nnxn 2 12654321 ???? ?, 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 , 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x,于是原極限為 0 。 例 2.求下列極限 ???? ?nkn kn1 21lim 四.用洛必達法則求極限 1.“ 00 ”型和“ ?? ”型 例 1.求nnnn 1sin1sin1lim3??? 解:離散型不能直接用洛必達法則,故考慮 3030 s inlims in s inlim x xxx xx xx ?? ?? 等價無窮小代換 616s inlim3 c o s1lim020 ???? ?? xxx x xx ?原式 61? 例 2.求10102limxexx?? 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 16 2.“ ??? ”型 和“ ??0 ”型。 例 1.求 ?????? ??? 111lim0 xx ex 例 2.求 ???????? ?? 2220 c o ss in1lim x xxx 例 3.求 xxx lnsinlim 20 ??? 例 4.設(shè) 0?a , 0?b 常數(shù),求 ???????? ???? xxx bax11lim 3.“ ?1 ”型,“ 0 ”型和“ 0? ”型 這類都是 ? ?? ? ? ?xgxflim 形式,可化為 ? ? ? ?? ?xfxge lnlim 而 ? ? ? ?? ?xfxg lnlim 都是“ ??0 ”型 ,按 2 的情形處理 例 1.求 xx x 2sin0lim?? 例 2.求 ? ? xx x 2cot0 coslim? (前面已用重要公式的方法) 解:令 ? ? xxy 2cotcos? , xxy co slnco tln 2? 2020200 c o slnl i mt a nc o slnl i mc o slnc o tl i mlnl i m x xxxxxy xxxx ???? ??? (“ 00 ”型) = 212tanlim0 ???? x xx, ? 210lim?? ?eyx 例 3.求 xx xx ?????? ???1c o s1s inlim 五.用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 17 例 1.求 1s in13 1lim 23 2 ?? ???? nnnnn 解: ? 013111lim13 1lim3 323 2?????? ?? ????nnnnnnnnn, 11sin 2 ??n , 根據(jù)有界變量乘無窮小仍是無窮小,可知原式 0? 例 2.求 ? ?? ? ? ?xxe xxxx 5s in21ln1 3a r c ta n2c o s1lim 0 ???? 例 3.求 ? ? ? ?xx xxxx ???? 1lnc o s11c o ss in3lim20 解:這個極限雖是“ 00 ”型,但分子,分母分別求導數(shù)后的極限不存在,因此不能用洛必達法則。 原式 ? ?231ln1c oss in3c os11lim0 ????????????????? ?xxxxxxxx 例 4.設(shè) n 為正整數(shù),求 ? ?x xxxn nnx c o s111lim 20 ?????? 六.求分段函數(shù)的極限 例 1.求下列函數(shù)在分段點 處的極限 ( 1) ? ????????????0 ,c o s10 ,2s in2xxxxx xxf ( 2) ? ??????????????1 ,211 ,1122xxxxxxg 解:( 1) ? ? 22 2s in2lim2s inlim0000 ????? ?? ?? xxx xfxx 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 18 ? ? 221limc o s1lim00 22020 ????? ?? ?? xxxxfxx ? ? 2lim0 ?? ? xfx ( 2) ? ? ? ? 21lim11lim01121 ????????? ?? xxxgxx ? ?2321lim01 21 ??????? ??? ?? xg x 因為 ? ? ? ?0101 ??? gg ,故 ? ?xgx 1lim?不存在。 例 2.求?????????????? xxeexxxs in12lim410 七.求極限的反問題 例 1.設(shè) ? ? 31s inlim 221 ????? xbaxxx 求 a 和 b 例 2.設(shè) 1s in1lim 0 20 ??? ?? xx dttatxbx,求 a 和 b 。 167。 1. 3 連續(xù) 甲 內(nèi)容要點 一. 函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)在點 0x 處連續(xù) 定義 1.設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 的某個鄰域內(nèi)有定義,如果當自變量的改變量 x? (初值為 0x )趨近于 0 時,相應的函數(shù)改變量 y? 也趨近于 0 ,即 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 19 0lim0 ???? yx 或 ? ? ? ?? ? 0lim 000 ?????? xfxxfx 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)。 函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù)也可作如下定義。 定義 2.設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 的某個領(lǐng)域內(nèi) 有定義,如果當 0xx? 時,函數(shù) ??xf 的極限值存在,且等于 0x 處的函數(shù)值 ? ?0xf ,即 ? ? ? ?00lim xfxfxx ?? 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù),此時有 ? ? ? ? ? ?000 limlim xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 并且有 ? ? ? ? ? ?00 limlim 0 xxxx xfxfxf ?? ?? 即如果函數(shù)在點 0x 處連續(xù),則在點 0x 處可以交換極限號和函數(shù)號的順序。 定義 3.設(shè)函數(shù) ? ?xfy? ,如果 ? ? ? ?00lim xfxfxx ???,則稱函數(shù) ??xf 在點 0x 處左連續(xù);如果 ? ? ? ?00lim xfxfxx ???,則稱函數(shù) ??xf 在點 0x 處右連續(xù)。 由上述定義 2 可知,如果函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 處連續(xù),則 ??xf 在 0x 處既左連續(xù)也右連續(xù)。 2.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)(上)連續(xù)的定義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱 ??xf 在 ? ?ba, 內(nèi)連續(xù)。 如果 ? ?xfy? 在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),在區(qū)間端點 a 右連續(xù),在區(qū)間端點 b 左連續(xù),則稱 ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)。 二.函數(shù)的間斷點及其分類 1.函數(shù)的間斷點的定義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點 0x 不連續(xù),則稱 0x 為 ??xf 的間斷點。 2.函數(shù)的間斷點的分類 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 20 函數(shù)的間斷點分為兩類: ( 1)第一類間斷點 設(shè) 0x 是函數(shù) ? ?xfy? 的間斷點。如果 ??xf 在間斷點 0x 處的左、右極限都存在,則稱 0x 是 ??xf 的第一類間斷點。 第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。 ( 2)第二類間斷點 第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。 常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。 例如. 0?x 是 ? ? xxxf sin? 的可去間斷點,是 ? ? xxxf ? 的跳 躍間斷點,是 ? ? xxf 1? 的無窮間斷點,是? ? xxf 1sin? 的振蕩間斷點。 三.初等函數(shù)的連續(xù)性 1.在區(qū)間 I 連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商(分母不為零),在區(qū)間 I 仍是連續(xù)的。 2.由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復合而成的復合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。 3.在區(qū)間 I 連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù),在對應區(qū)間仍 連續(xù)且單調(diào)。 4.基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。 5.初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。 四.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)的函數(shù) ??xf ,有以下幾個基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。 定理 1.(有界定理)如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù),則 ??xf 必在 ? ?ba, 上有界。 定理 2.(最大值和最小值定理)如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù),則在這個區(qū)間上一定存在最大值 M和最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定義如下: 定義 設(shè) ? ? Mxf ?0 是區(qū)間 ? ?ba, 上某點 0x 處的函數(shù)值,如果對于區(qū)間 ? ?ba, 上的任一點 x ,總有? ? Mxf ? ,則稱 M 為函數(shù) ??xf 在 ? ?ba, 上的最大值。同樣可以定義最小值 m 。 定理 3.(介值定理)如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù),且其最大值和最小值分別為 M 和 m ,則對于介于 m 和 M 之間的任何實數(shù) c ,在 ? ?ba, 上至少存在一 個 ? ,使得 ? ? cf ?? 推論:如果函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù),且 ??af 與 ??bf 異號,則在 ? ?ba, 內(nèi)至少存在一個點 ? ,使得 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 21 ? ? 0??f 這個推論也稱為零點定理 思考題:什么情況下能保證推論中的 ? 是唯一的? 乙 典型例題 一.討論函數(shù)的連續(xù)性 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)的,所以,函數(shù)的連續(xù)性討論多是指分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性。對于分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性,若函數(shù)在分段點兩側(cè)表達式不同時,需根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件進行討論。 例 1.討論函數(shù) ? ????????????0,1s in0,00,1xxxxxexfx 在點 0?x 處的連 續(xù)性。 解: 因 ? ? ? ? 0limlim00 100 ???? ?? ?? xxx exff ? ? ? ? 01s inlimlim00 00 ???? ?? ?? xxxff xx ? ? 00 ?f 即有 ? ? ? ? ? ?00000 fff ???? ,故 ??xf 在點 0?x 連續(xù)。 例 2.討論函數(shù) ? ?? ????????????????0 ,110 ,210 ,1lnxxxxxxxxf 在點 0?x 的連續(xù)性。 二.已知函數(shù)的連 續(xù)性求未知參數(shù) 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 22 例 1.設(shè) ? ?????????0 0s inxkxx
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