【正文】 (95)2(91633)3( ffbaf ????? 把 )1(f 和 )2(f 的范圍代入得 .337)3(316 ?? f 在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。 2－②得 32338 ???? b ④ ③ +④ 得 .343)3(310,34333310 ????? fba 即 錯(cuò)誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)bxaxxf ??)( ，其值是同時(shí)受 ba和 制約的。 錯(cuò)誤解法 由 條件得 ????????????622303baba ②① ②179。 二、思維訓(xùn)練實(shí)例 (1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。 解法一 （代數(shù)法）設(shè) ，、 )( Ryxyixz ??? .25)1(.4 2222 yyxizyx ??????? ＝則 .32,2 m a x ?????? izyy 時(shí)，當(dāng)? 解法二 （三角法）設(shè) ),sin(co s2 ?? iz ?? 則 .s in45)1s in2c o s4 22 ??? ????? ＋（iz .31s in m a x ????? iz時(shí)，當(dāng) ? 解法三 （幾何法） 。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。 則??????????????????????????????????????????????????17319729131318112811211)3(1)2(1)1(nmnmnmnmnmnmfff ③②① ①＋③得 9211 ????? nm ， 與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即 )1(f 、 )2(f 、 )3(f 中至少有一個(gè)不小于 1。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。將（ 2）代入（ 1）得： .024)47( 22 ????? ppxpx （ 3） 確定 p 的范圍，實(shí)際上就是求（ 3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組： ?????????????????0470240)24(4)47(222pppppp 在 0?p 的條件下，得 .130 ??p 本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的問題。 例 12 直線 L 的方程為2px ??，其中 0?p ；橢圓 E 的中心為 )0,22( pO ??，焦點(diǎn)在 X 軸上，長半軸為 2，短半軸為 1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為 )0,2(pA，問 p 在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn) A 的距離等于該點(diǎn)到直線 L 的距離。 思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為 1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。 a 、 b 、 c 中至少有一個(gè)為 1，也就是說111 ??? cba 、 中至少有一個(gè)為零，這樣，問題就容易解決了。 思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。 （ 3） 問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練 我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。 證明 當(dāng) 0??yx 時(shí)， 等式 0))((4)( 2 ????? zyyxxz 可看作是關(guān)于 t 的一元二次方程 0)()()( 2 ?????? zytxztyx 有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是 1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 1???yx zy即 zxy ??2 若 0??yx ，由已知條件易得 ,0??xz 即 zyx ?? ,顯然也有 zxy ??2 . 例 6 已知 cba 、 均為正實(shí)數(shù) ,滿足關(guān)系式 222 cba ?? ,又 n 為不小于 3的自然數(shù)，求證 : .nnn cba ?? 思路分析 由條件 222 cba ?? 聯(lián)想到勾股定理 , cba 、 可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。 解 C?? 為鈍角， 0??tgC .在 ABC? 中 )( BACCBA ??????? ?? 且 均為銳角，、 BA ? ?.,0,0.01)()(??????????? ??????????t gBt gAt gBt gAt gBt gAt gBt gAt gBt gABAtgBAtgt gC即?? 故應(yīng)選擇（ B） 思維障礙 有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。 （ 2） 聯(lián)想能力的訓(xùn)練 例 4 在 ABC? 中，若 C? 為鈍角，則 tgBtgA? 的值 (A) 等于 1 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能確定 思路分析 此題是在 ABC? 中確定三角函數(shù) tgBtgA? 的值。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。 )()( ?? ff ?????? 思維障礙 有些同學(xué)對(duì)比較 )(f 與 )(?f 的大小，只想到求出它們的值。 思路分析 由已知條件 )2()2( xfxf ??? 可知，在與 2?x 左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線 2?x 對(duì)稱，又由 已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致 圖像簡捷地解出此題。 有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。 思維障礙 大部分學(xué)生的作法如下： 由 xyx 623 22 ?? 得 ,323 22 xxy ??? ,29)3(21323 22222 ????????? xxxxyx ? 當(dāng) 3?x 時(shí)， 22 yx ? 取最大值，最大值為 29 這種解法由于忽略了 02?y 這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。 解 由 xyx 623 22 ?? 得 .20,0323,0.3232222???????????xxxyxxy? 又 ,29)3(21323 22222 ???????? xxxxyx ?當(dāng) 2?x 時(shí)， 22 yx ? 有最大值，最大值為 .429)32(21 2 ???? 思路分析 要求 22 yx ? 的最大值，由已知條件很快將 22 yx ? 變?yōu)橐辉魏瘮?shù) ,29)3(21)( 2 ???? xxf 然后求極值點(diǎn)的 x 值，聯(lián)系到 02?y ，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。 因此， .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。根據(jù)其特點(diǎn)， 可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：0))()(( ???? accbba 思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。 例如，已知cbacba ????? 1111, )0,0( ???? cbaabc , 求證 a 、 b 、 c 三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x 、 y 是一元二次方程 0322 ??? tt 的兩個(gè)根， 所以??? ???31yx或??? ???13yx.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。 （ 2）善于聯(lián)想 聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、 發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。《高中數(shù)學(xué)解題思維與思想》 大家好好看，一定會(huì)收益的 一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略 第一講 數(shù)學(xué)思維的變通性 一、概念 數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性 —— 善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練： （ 1）善于觀察 心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。 任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。 例如，求和)1( 143 132 121 1 ???????? nn?. 這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且111)1( 1 ???? nnnn，因此，原式等于 1111113121211 ?????????? nnn?問題很快就解決了。 稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。 例如，解方程組??? ???? 32xy yx. 這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為 2 ，這兩個(gè)數(shù)的積為 3? 。 （ 3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)家 G . 波利亞在《怎樣解題》中說過： 數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后 ，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。 恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會(huì) 用同樣的思維方法解決以后的問題。 綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。 二、思維訓(xùn)練實(shí)例 （ 1） 觀察能力的訓(xùn)練 雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。 例 1 已知 dcba , 都是實(shí)數(shù)，求證 .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的 結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而 左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。 證明 不妨設(shè) ),(),( dcBbaA 如圖 1－ 2－ 1所示， 則 .)()( 22 dbcaAB ???? , 2222 dcOBbaOA ???? 在 OAB? 中，由三角 形三邊之間的關(guān)系知： ABOBOA ?? 當(dāng)且僅當(dāng) O在 AB上時(shí)，等號(hào)成立。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。 x y O ),( baA ),( dcB 圖 1－ 2－ 1 例 2 已知 xyx 623 22 ?? ，試求 22 yx ? 的最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件， 又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。 例 3 已知二次函數(shù) ),0(0)( 2 ????? acbxaxxf 滿足關(guān)系 )2()2( xfxf ??? ，試比較 )(f 與 )(?f 的大小。 解 （如圖 1－ 2－ 2）由 )2()2( xfxf ??? ， 知 )(xf 是以直線 2?x 為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線 x y O 2 圖 1－ 2－2 它與 2?x 距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。而此題函數(shù) )(xf 的表達(dá)式不確定無法代值，所以無法比較。提高思維的變通性。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式tgBtgA tgBtgABAtg ?? ??? 1)(可得下面解法。